如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 23:26:21
如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
如图,在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,且AE垂直于BC于E,是说明AB^2-AC^2=2BC×DE
在直角三角形ABE中,由勾股定理,得,AB^2=BE^2+AE^2,
同理,AC^2=AE^2+CE^2
所以AB^2-AC^2
=(BE^2+AE^2)-(AE^2+CE^2)
=BE^2-CE^2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC*(BE-CE)
因为BE=BD+DE,BD=CD
所以原式=BC(BD+DE-CE)
=BC(CD+DE-CE)
=BC*(DE+DE)
=2BC×DE
因为AE垂直于BC，所以由勾股定理得
AB^2=BE^2+AE^2……①
AC^2=CE^2+AE^2……②
①-②可得
AB^2-AC^2=BE^2-CE^2……③（两边可以同时为负）
而BE=BD+DE，CE=CD-DE（DE可以为负值）
带入③，用完全平方展开，可得到
AB^2-AC^2=BD^2+2*BD*DE+DE^2-CD^2+2...
全部展开
因为AE垂直于BC，所以由勾股定理得
AB^2=BE^2+AE^2……①
AC^2=CE^2+AE^2……②
①-②可得
AB^2-AC^2=BE^2-CE^2……③（两边可以同时为负）
而BE=BD+DE，CE=CD-DE（DE可以为负值）
带入③，用完全平方展开，可得到
AB^2-AC^2=BD^2+2*BD*DE+DE^2-CD^2+2*CD*DE-DE^2
整理得到
AB^2-AC^2=（BD^2-CD^2）+2*（BD+CD）*DE
又因为BD=CD,且BD+CD=BC
所以AB^2-AC^2=2BC*DE
收起