1x2+2x3+3x4...+10x11=?1x2+2x3+3x4...+nx(n-1)=?

1x2+2x3+3x4...+10x11=?1x2+2x3+3x4...+nx(n-1)=?
1x2+2x3+3x4...+10x11=?
1x2+2x3+3x4...+nx(n-1)=?

1x2+2x3+3x4...+10x11=?1x2+2x3+3x4...+nx(n-1)=?
可以利用平方和公式
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
以及等差数列求和公式
1+2+3+……+n=n(n-1)/2
原式=1^2+1+2^2+2+3^2+3+……+(n-1)^2+(n-1)=(n-1)n(2n-1)/6+(n-1)(n-2)/2
看成等差数列和平方和之和,可再做适当化简,如提出n-1项.

设S=1x2+2x3+3x4+……+(n-1)xn；
然后2S=1x2+ (1x2 + 2x3 + 2x3 + 3x4 + 3x4 +…+ (n-2)x(n-1) + (n-2)x(n-1) + (n-1)xn) + (n-1)xn；
=1x2+ [2x(1+3) + 3x(2+4) + … + (n-2)x((n-3)+(n-1)) + (n-1)x((n-2...

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设S=1x2+2x3+3x4+……+(n-1)xn；
然后2S=1x2+ (1x2 + 2x3 + 2x3 + 3x4 + 3x4 +…+ (n-2)x(n-1) + (n-2)x(n-1) + (n-1)xn) + (n-1)xn；
=1x2+ [2x(1+3) + 3x(2+4) + … + (n-2)x((n-3)+(n-1)) + (n-1)x((n-2)+n)] + (n-1)xn；
= 2 + [2x4 + 3x6 + … + (n-2)x(2n-4) + (n-1)x(2n-2)] + nx(n-1)；
= 2 + [2x2x2 + 2x3x3 + … + 2x(n-2)x(n-2) + 2x(n-1)x(n-1)] + nx(n-1)；
= 2 + 2 x [1/6x(n-1)x(n)x(2n-1)-1] + nx(n-1)；
=2/3xnx(n-1)x(n+1)；
S = 1/3xnx(n-1)x(n+1)；

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