已知A,B是圆x^2+y^2=1与x轴的两个交点,CD是垂直于AB的动弦,直线AC和DB相交于点P,问是否存在两个定点E,F,使| |PE|-|PF| |为定值?若存在,求出E,F的坐标,若不存在,请说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 06:18:12
已知A,B是圆x^2+y^2=1与x轴的两个交点,CD是垂直于AB的动弦,直线AC和DB相交于点P,问是否存在两个定点E,F,使| |PE|-|PF| |为定值?若存在,求出E,F的坐标,若不存在,请说明理由.
已知A,B是圆x^2+y^2=1与x轴的两个交点,CD是垂直于AB的动弦,直线AC和DB相交于点P,
问是否存在两个定点E,F,使| |PE|-|PF| |为定值?若存在,求出E,F的坐标,若不存在,请说明理由.
已知A,B是圆x^2+y^2=1与x轴的两个交点,CD是垂直于AB的动弦,直线AC和DB相交于点P,问是否存在两个定点E,F,使| |PE|-|PF| |为定值?若存在,求出E,F的坐标,若不存在,请说明理由.
设P点坐标(x,y).
不妨设A在B的左侧,则A坐标为(-1,0),B坐标为(1,0)
设直线AC方程为y=k(x+1),与x²+y²=1联立消去y得到：
k²(x+1)²+(x+1)(x-1)=0
(x+1)[(k²+1)x+k²-1]=0
解得:x1=-1,x2=(1-k²)/(1+k²)
易知x2即为C点横坐标,纵坐标y2=k(x2+1)=2k/(1+k²)
同理,设直线BD方程为y=p(x-1),与x²+y²=1联立消去y得到：
p²(x-1)²+(x+1)(x-1)=0
(x-1)[(p²+1)x+1-p²]=0
解得：x3=1,x4=(p²-1)/(1+p²),
易知x4即为D点横坐标,纵坐标y4=p(x-1)=-2p/(1+p²)
因为CD⊥AB即垂直于X轴,所以x2=x4,y2=-y4
即(1-k²)/(1+k²)=(p²-1)/(1+p²),2k/(1+k²)=2p/(1+p²)
两式联立解得kp=1
P点坐标(x,y)同时满足y=k(x+1),和y=p(x-1),两式相乘得到
y²=kp(x+1)(x-1)=x²-1
所以点P轨迹方程为x²-y²=1是双曲线,两焦点坐标(-√2,0),(√2,0)
所以存在两个定点E,F,使| |PE|-|PF| |为定值,
E坐标(-√2,0),F坐标(√2,0)
或者F坐标(-√2,0),E坐标(√2,0)