已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立．是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 23:43:51
已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立．是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立．
是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
已知函数f(x)=x+sinx,求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcosx在[0,π/2]上恒成立．是2012苏中模拟19题,但不知道答案中为什么a那样分类的
设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx,x∈[0,π / 2 ],
1、当a≤0时,axcosx-x-sinx
（2）依题意得，设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx，x∈[0，π / 2 ]，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在[0，π/ 2 ]上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）<...
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（2）依题意得，设Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx，x∈[0，π / 2 ]，
1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在[0，π/ 2 ]上单调递减，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）
②a＞2时，注意到当x∈[0， π/ 2 ]时，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在x0∈(0，π / 2 )，使得当x∈（0，x0）时，有Q（x0）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
综上所述，实数a的取值范围为a≤2． …（16分）
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