关于x,y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数为?

关于x,y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数为?
关于x,y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数为?

关于x,y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数为?
方程化为(x-104)²+(y+104)² = 2·104² = 2⁷·13².
两个平方数的和被4整除,必须二者都是偶完全平方数.
因此x/2-52与y/2+52都是整数,且(x/2-52)²+(y/2+52)² = 2⁵·13².
进而x/4-26与y/4+26都是整数,且(x/4-26)²+(y/4+26)² = 2³·13².
再进一步,x/8-13与y/8+13都是整数,且(x/8-13)²+(y/8+13)² = 2·13² = 338 < 19².
由y是正数,可得13 < y/8+13 < 19.
又y/8+13是整数,所以只有y/8+13 = 14,15,16,17,18.
(其实可进一步说明y/8+13是奇数,所以只需验证15和17).
依次验证得仅有338-17² = 7²是完全平方数.
对应y = 32,x/8-13 = ±7,
方程有两组正整数解(x,y) = (48,32),(160,32).

（0,0）（0，-208）（208,0）（208，-208）