已知E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上的任一点,PF垂直BE于F,PG垂直AD于G求证：PF+PG=AB

已知E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上的任一点,PF垂直BE于F,PG垂直AD于G求证：PF+PG=AB
已知E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上的任一点,PF垂直BE于F,PG垂直AD于G
求证：PF+PG=AB

已知E是矩形ABCD的边AD上一点,且BE=ED,P是对角线BD上的任一点,PF垂直BE于F,PG垂直AD于G求证：PF+PG=AB
证明：做PQ⊥BC于Q
因BE=ED
∴∠EBD=∠EDB,
∵BC‖AD
∴∠CBD=∠EDB
∴∠CBD=∠EBD
∴BD为∠CBE平分线
∵PF⊥BE,BP公用
∴△BFP≌△BQP
∴PF=PQ
∵PG⊥AD
∴Q、P、G三点共线
∴QG=AB
∴PF+PG=PQ+PG=QG=AB
∴PF+PG=AB

证明：做PQ⊥BC于Q
因BE=ED
∴∠EBD=∠EDB，
∵BC‖AD
∴∠CBD=∠EDB
∴∠CBD=∠EBD
∴BD为∠CBE平分线
∵PF⊥BE，PQ⊥BC
∴PF=PQ
∵PG⊥AD
∴Q、P、G三点共线
∴QG=AB
∴PF+PG=PQ+PG=QG=AB
∴PF+PG=AB

【证明】：证明：做PQ⊥BC于Q
因BE=ED
∴∠EBD=∠EDB，
∵BC‖AD
∴∠CBD=∠EDB
∴∠CBD=∠EBD
∴BD为∠CBE平分线
∵PF⊥BE，BP公用
∴△BFP≌△BQP
∴PF=PQ
∵PG⊥AD
∴Q、P、G三点共线
∴QG=AB
∴PF...

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【证明】：证明：做PQ⊥BC于Q
因BE=ED
∴∠EBD=∠EDB，
∵BC‖AD
∴∠CBD=∠EDB
∴∠CBD=∠EBD
∴BD为∠CBE平分线
∵PF⊥BE，BP公用
∴△BFP≌△BQP
∴PF=PQ
∵PG⊥AD
∴Q、P、G三点共线
∴QG=AB
∴PF+PG=PQ+PG=QG=AB
∴PF+PG=AB

收起

因为BE=ED。
所以角EBD=角EDB.
因为矩形ABCD，
所以角BAD=90。
因为PF垂直BE于F，
所以三角形BPF相似于三角形DBA.
所以PF/AB=BP/BD.
又因为PG垂直AD于G
所以三角形DGP相似于三角形DAB.
所以PG/AB=DP/BD.
所以PF/AB+PG/AB=BP/BD+DP/BD...

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因为BE=ED。
所以角EBD=角EDB.
因为矩形ABCD，
所以角BAD=90。
因为PF垂直BE于F，
所以三角形BPF相似于三角形DBA.
所以PF/AB=BP/BD.
又因为PG垂直AD于G
所以三角形DGP相似于三角形DAB.
所以PG/AB=DP/BD.
所以PF/AB+PG/AB=BP/BD+DP/BD
即(PF+PG)/AB=(BP+DP)/BD
所以(PF+PG)/AB=1.
所以PF+PG=AB。

收起

延长GP交BC于H
因为EB=ED
所以角EBD=角EDB
又角EDB=角DBC
故角EBD=角DBC
角PFB=角PHB=90
边PB为公共边
所以三角形PFB全等于三角形PHB
所以PF=PH
所以GP+PH=GP+FP=AB