已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）急已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）,其中α,β为常数,且满足0＜α＜β＜π.对于任意实数x,是否存在α,β,使得f（x）是

已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）急已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）,其中α,β为常数,且满足0＜α＜β＜π.对于任意实数x,是否存在α,β,使得f（x）是
已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）急
已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）,其中α,β为常数,且满足0＜α＜β＜π.对于任意实数x,是否存在α,β,使得f（x）是与x无关的定值?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.

已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）急已知函数f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）,其中α,β为常数,且满足0＜α＜β＜π.对于任意实数x,是否存在α,β,使得f（x）是
f（x）=cos²x+cos²（x+α）+cos²（x+β）
=1/2(1+cos2x)+1/2[1+cos(2x+2α)/+1/2[1+cos(2x+2β)]
=3/2+1/2cos2x+1/2cos(2x+2α)+1/2cos(2x+2β)
=3/2+1/2cos2x+1/2cos2xcos2α-1/2sin2xsin2α+1/2cos2xcos2β-1/2sin2xsin2β
=3/2+1/2(1+cos2α+cos2β)cos2x-1/2(sin2α+sin2β)sin2x
若f(x)的值与x无关则需
1+cos2α+cos2β=0且sin2α+sin2β=0
sin2α+sin2β=0得sin2α=sin(-2β),
∴2α=-2β+2kπ或2α=2kπ+π+2β,k∈Z
若2α=-2β+2kπ,
则cos(2kπ-2β)+cos2β=-1
∴cos2β=-1/2,
∵0＜α＜β＜π.∴0＜2α＜2β＜π
∴2β=2π/3 或2β=4π/3
那么β=π/3 或β=2π/3
若β=π/3,α= π-β=2π/3,不合题意
若β=2π/3,α= π-β=π/3符合题意.
若2α=2kπ+π+2β,
cos2α=-cos2β,cos2α+cos2β+1=0矛盾.
所以,符合条件的α,β存在,
α=π/3,β=2π/3