y=kx+m与x^2/9+y^2=1交AB俩点ABAB为直径得圆过椭圆x^2/9+y^2=1的右顶点求证直线过定点求出该定点要写出过程@
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/31 10:45:45
y=kx+m与x^2/9+y^2=1交AB俩点ABAB为直径得圆过椭圆x^2/9+y^2=1的右顶点求证直线过定点求出该定点要写出过程@
y=kx+m与x^2/9+y^2=1交AB俩点ABAB为直径得圆过椭圆x^2/9+y^2=1的右顶点求证直线过定点求出该定点
要写出过程@
y=kx+m与x^2/9+y^2=1交AB俩点ABAB为直径得圆过椭圆x^2/9+y^2=1的右顶点求证直线过定点求出该定点要写出过程@
定点坐标为(12/5,0)或(3,0)
设椭圆的右顶点为C,则C的坐标为(3,0),设A(x1,y1)、
B(x2,y2)
因为AB为圆的直径,C在圆上,则AC与BC垂直
于是向量CA与向量CB的数量积等于0
向量CA=(3-x1,-y1),向量CB=(3-x2,-y2)
则向量CA与向量CB的数量积=(3-x1)*(3-x2)+y1*y2=0 (1)
由A、B应满足直线方程
则y1=kx1+m
y2=kx2+m
代入(1)式,并整理得
(k^2+1)x1*x2+(km-3)(x1+x2)+m^2+9=0 (2)
将直线方程代入椭圆方程,消去y,得
(9k^2+1)x^2+18kmx+9m^2-9=0 (3)
因A、B是直线与椭圆的焦点,则x1、x2是方程(3)的两根,由根与
系数的关系知 x1+x2=(-18km)/(9k^2+1) (4)
x1*x2=(9m^2-9)/(9k^2+1) (5)
将(4)、(5)代入(2),并整理得
36k^2+27km+5m^2=0 (6)
即(12k+5m)(3k+m)=0 (7)
所以 k=-5m/12 或 k=-m/3
将上述结果分别代入直线方程得
y=m(-5x+12)/12 显然该直线经过点(12/5,0)
或y=m(-x+3)/3 显然该直线经过点(3,0)