如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为线段BC上(除点B外)一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧做正方形ADEF,CF交DE于P（1）求证：CF⊥BC；（2）若AC=4√2,CD=2,求线段CP的长.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 18:55:27
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为线段BC上(除点B外)一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧做正方形ADEF,CF交DE于P（1）求证：CF⊥BC；（2）若AC=4√2,CD=2,求线段CP的长.
如图,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为线段BC上(除点B外)一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧做正方形ADEF,CF交DE于P
（1）求证：CF⊥BC；
（2）若AC=4√2,CD=2,求线段CP的长.
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D为线段BC上(除点B外)一动点,连接AD,以AD为一边在AD的右侧做正方形ADEF,CF交DE于P（1）求证：CF⊥BC；（2）若AC=4√2,CD=2,求线段CP的长.
（1）
∵AB＝AC、∠BAC＝90°,∴∠ACD＝45°.
∵ADEF是正方形,∴∠AFD＝45°,∴∠AFD＝∠ACD,∴A、D、C、F共圆.
∵ADEF是正方形,∴AD⊥AF,又A、D、C、F共圆,∴CF⊥BC.
（2）
过A作AG⊥BC交BC于G.
∵AB＝AC＝4√2、AB⊥AC,又AG⊥BC,∴AG＝CG＝4,而CD＝2,∴DG＝2.
由勾股定理,有：AD＝√（AG^2＋DG^2）＝√（4^2＋2^2）＝2√5.
∵ADEF是正方形,∴DE＝AF＝AD＝2√5,∴DF＝2√10.
∵CF⊥CD,∴由勾股定理,有：CF＝√（DF^2－CD^2）＝√（4×10－2^2）＝6.
令CP＝x,则再勾股定理,有：DP＝√（CD^2＋CP^2）＝√（2^2＋x^2）＝√（4＋x^2）,
∴PE＝DE－DP＝2√5－√（4＋x^2）.
∵ADEF是正方形,∴DE⊥EF,又CF⊥CD,∴D、C、E、F共圆,∴DP×PE＝CP×PF,
∴√（4＋x^2）［2√5－√（4＋x^2）］＝x（CF－CP）＝x（6－x）,
∴2√5×√（4＋x^2）－（4＋x^2）＝6x－x^2,∴2√5×√（4＋x^2）＝6x＋4,
∴√5×√（4＋x^2）＝3x＋2,∴5（4＋x^2）＝（3x＋2）^2＝9x^2＋12x＋4,∴4x^2＋12x－16＝0,
∴x^2＋3x－4＝0,∴（x＋4）（x－1）＝0,∴x＝1.
∴CP的长为1.