急已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍,F1,F2是它的左右焦点（1）若P∈C,且向量PF1*向量PF2=0,绝对值PF1*绝对值PF2=4,求F1,F2的坐标；（2）在（1）的条件下,过动点Q作以F2为圆心,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:31:15
急已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍,F1,F2是它的左右焦点（1）若P∈C,且向量PF1*向量PF2=0,绝对值PF1*绝对值PF2=4,求F1,F2的坐标；（2）在（1）的条件下,过动点Q作以F2为圆心,
急已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍,F1,F2是它的左右焦点
（1）若P∈C,且向量PF1*向量PF2=0,绝对值PF1*绝对值PF2=4,求F1,F2的坐标；
（2）在（1）的条件下,过动点Q作以F2为圆心,以1为半径的圆的切线QM（M是切线）,且使绝对值QF1=√2*绝对值QM,求动圆Q的轨迹方程.我很笨
急已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍,F1,F2是它的左右焦点（1）若P∈C,且向量PF1*向量PF2=0,绝对值PF1*绝对值PF2=4,求F1,F2的坐标；（2）在（1）的条件下,过动点Q作以F2为圆心,
由a=√3b,可将椭圆C方程变形为只有参数b的方程：x^2/(3b^2)+y^2/b^2=1
由椭圆定义可得：|PF1|+|PF2|=2a -----(2)
由向量PF1*向量PF2=0向量,可得：PF1⊥PF2,即：|PF1|^2+|PF2|^2=4c^2 -----(3)
又：|PF1|*|PF2|=4 ------(4)
将第(2)式两边平方并带入第(3)(4)式可得：4c^2+8=4a^2 ------(5)
而由定义有：a^2=b^2+c^2 ------(6)
将第(5)(6)式联立解得：b^2=2
所以椭圆方程为：x^2/6+y^2/2=1 -----(1) ,且a^2=6,c=2
F1(-2,0),F2(2,0).
设M(x0,y0),Q(x,y),
由切线关系可得F2M与QM斜率之积等于-1,即：(y-y0)/(x-x0)=-(x0-2)/y0 ----(6)
由绝对值QF1=√2*绝对值QM得：2*[(x-x0)^2+(y-y0)^2]=(x+2)^2+y^2 ----(7)
而以F2为圆心的圆方程可得到：(x0-2)^2+y0^2=1 ----(8)
设x0-2=cosθ,y0=sinθ,则(7)式可化解为：xcosθ+ysinθ-2cosθ=1 -----(9)
则对于(6)式有：
(x-x0)^2+(y-y0)^2=x^2+4+(cosθ)^2-2xcosθ-4x+4cosθ+y^2-2ysinθ+(sinθ)^2
=(x^2+y^2-4x+5)+(-2xcosθ-2ysinθ+4cosθ)
--->(带入(9)式)=x^2+y^2-4x+5-2=x^2+y^2-4x+3
所以(6)式可化为：2x^2+2y^2-8x+6=x^2+4x+4+y^2
整理即可得到动点Q的轨迹方程：(x-6)^2+y^2=34 ---->也为一个圆.
请注意：最后求解轨迹方程的方法不是偶然,关键时刻可以考虑用三角函数来化解结算过程,其实三个方程足以消除x0和y0,以求得轨迹方程,但是计算过程会相当复杂.
不知道结果有没有对,因为算得比较草,但过程您绝对可以相信.