已知三角形ABC中,DF交AB于F,交AC于E,交BC延长线于D,且DE;DC=AB;BC.求证AF=EF(要有完整的全过程)

已知三角形ABC中,DF交AB于F,交AC于E,交BC延长线于D,且DE;DC=AB;BC.求证AF=EF(要有完整的全过程)
已知三角形ABC中,DF交AB于F,交AC于E,交BC延长线于D,且DE;DC=AB;BC.求证AF=EF
(要有完整的全过程)

已知三角形ABC中,DF交AB于F,交AC于E,交BC延长线于D,且DE;DC=AB;BC.求证AF=EF(要有完整的全过程)
作FG平行于BC交AC于G
所以AF:FG=AB:BC ,DE:DC=FE:FG=AB:BC
即：AF:FG=FE:FG
即：AF=FE
证明：
在DE上取一点G使得EG=AB,连接BG.
因为DE：DC=AB：BC,所以DE：DC=GE：BC.所以BG平行于AC.
易得三角形AFE相似于三角形BFG
则AF：BF=EF：GF设其比值为K（K不为0）
则AF=K·BF EF=K·GF
AB=AF+BF=（K+1）BF
EG=EF+GF=（K+1）GF
由AB=EG可得 BF=GF,则K·BF=K·GF,即AF=EF