如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.求证:AD⊥BC
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 13:22:43
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.求证:AD⊥BC
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.求证:AD⊥BC
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF.求证:AD⊥BC
已知DE⊥AB,DF⊥AC
所以,∠BED=∠CFD=90°
已知D为BC中点,所以:BD=CD
已知BE=CF
所以,Rt△BED≌Rt△CFD(HL)
则,∠B=∠C
即,△ABC为等腰三角形
又D为底边BC中点
所以,AD⊥BC
DE⊥AB, DF⊥AC,则角BED=角CFD=90度
D是BC的中点,则BD=CD
又因BE=CF
所以三角形BDE与三角形CDF全等,所以角B=角C
所以AB=AC,△ABC是等腰三角形,且D是BC的中点
故AD丄BC
∵D是BC的中点
∴BD=DC
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F
∴∠BED=∠CFD=90°
∵BE=CF
∴△BED≌△CFD
∴DE=DF
∵DA=DA
∴△AED≌△AFD
∵△BED≌△CFD
∴△ABD≌△ACD
∴AD⊥BC
因D点为BC的中点,所以BD=DC
又因DE⊥AB,所以角DEB=90度
DF⊥AC,所以角DFC=90度,
因BE=CF
所以△BDE全等于△DFC,所以角B=角C
得出△ABC是AB=AC的等腰三角形
又因D点为BC中点,
所以AD⊥BC
∵BE=CF,∠BED=∠CFD=90º,BD=CD,
∴三角形BED≌三角形CFD,
∴BE=CF,DE=DF;
∵又AD=AD,∠DEA=∠DFA=90º,
∴三角形DEA≌三角形DFA,
∴AE=AF
∴AB=AC
即三角形ABC为等腰三角形,
∴AD⊥BC。