已知直线 X-2Y+1=0与圆 (X-a)^2+(y-b)^2 = 1/5 有交点,则a^2+b^2-2a+2b+1的最小值是?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 22:45:07
已知直线X-2Y+1=0与圆(X-a)^2+(y-b)^2=1/5有交点,则a^2+b^2-2a+2b+1的最小值是?已知直线X-2Y+1=0与圆(X-a)^2+(y-b)^2=1/5有交点,则a^2

已知直线 X-2Y+1=0与圆 (X-a)^2+(y-b)^2 = 1/5 有交点,则a^2+b^2-2a+2b+1的最小值是?
已知直线 X-2Y+1=0与圆 (X-a)^2+(y-b)^2 = 1/5 有交点,则a^2+b^2-2a+2b+1的最小值是?

已知直线 X-2Y+1=0与圆 (X-a)^2+(y-b)^2 = 1/5 有交点,则a^2+b^2-2a+2b+1的最小值是?
圆的圆心为(a,b),半径为1/sqrt(5),因此由直线和圆有交点可知点(a,b)必在离直线x-2y+1=0的距离为1/sqrt(5)的范围内,我们记这个范围为W.
我们设a^2+b^2-2a+2b+1=k

(a-1)^2+(b+1)^2=k+1
于是k+1表示的是点(a,b)到点(1,-1)的距离的平方,因此要求k的最小值,只需求满足题目条件的点(a,b)与点(1,-1)的最短距离,换言之,我们只需求出点(1,-1)到范围W内的点的最短距离.
而我们易知W其实就是与直线x-2y+1=0相距1/sqrt(5)的两条直线(x-2y+2=0与x-2y=0)之间相夹的部分区域,因此我们作出下图:
由图可见,当圆心取点P时取最小值,易求得此距离为3/sqrt(5)
即此时k+1=9/5,所以k最小=4/5.