设a不等于b,证明|sinb一sina|小于等于|b一a|(利用拉格朗日中值定理证明)

设a不等于b,证明|sinb一sina|小于等于|b一a|(利用拉格朗日中值定理证明)
设a不等于b,证明|sinb一sina|小于等于|b一a|(利用拉格朗日中值定理证明)

设a不等于b,证明|sinb一sina|小于等于|b一a|(利用拉格朗日中值定理证明)
f(x)=sinx
f(x)在定义域内可导连续所以由拉定理
在区间[a,b]上存在ξ使得
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
(sinb一sina)/(b-a)=cosξ
所以
|sinb一sina|/|b-a|=|cosξ|

设F(x)=sin x
(b-a)f'(kesai)=sinb-sina
f'(kesai)=cosx<=1
(b-a)>=sinb-sina
得证

看书去

f(x)=sinx on the interval R
f(x) is continuous and differenciable on the interval R
Apply M. V. T
f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
(sinb一sina)/(b-a)=cosc
|sinb一sina|/|b-a|=|cosc|<=1
|sinb一sina|<=|b一a|