如题
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:09:04
如题
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1．条件开放与探索 给出问题的结论,让解题者分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不惟一,这样的问题是条件开放性问题.它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追索,多途寻因.[例1] 已知△ABC内接于⊙O,⑴当点O与AB有怎样的位置关系时,∠ACB是直角?⑵在满足⑴的条件下,过点C作直线交AB于D,当CD与AB有什么样的关系时,△ABC∽△CBD∽△ACD?⑶画出符合⑴、⑵题意的两种图形,使图形的CD＝2cm.[解析]：⑴要使∠ACB＝90°,弦AB必须是直径,即O应是AB的中点；⑵当CD⊥AB时,结论成立；⑶由⑵知 ,即 ,可作直径AB为5的⊙O,在AB上取一点D,使AD＝1,BD＝4,过D作CD⊥AB交⊙O于C点,连结AC、BC,即得所求.⑴当点O在AB上（即O为AB的中点）时,∠ACB是直角； ⑵∵∠ACB是直角,∴当CD⊥AB时,△ABC∽△CBD∽△ACD； ⑶作直径AB为5的⊙O,在AB上取一点D,使AD＝1,BD=4,过D点作CD⊥AB交⊙O于C点,连结AC、BC,即为所求（如下图所示）.[评注]：本题是一个简单的几何条件探索题,它突破了过去“假设——求证”的封闭式论证,而是给出问题的结论,逆求结论成立的条件,强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求.看似平常,实际上非常精彩.2．结论开放与探索 给出问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断,甚至要求解题者探求条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性问题.它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力.[例1] （吉林省中考题）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,回答下列问题：⑴图中共有多少个三角形?把它们一 一写出来； ⑵图中有相似（不包括全等）三角形 如果有,就把它们一一写出来.[解析]：⑴先看△ABC中,一一数来共有6个三 角形,再加上△AFG,共七个三角形；⑵由于∠DAE ＝∠B＝∠C＝45°,∠ADE＝∠B＋∠1＝45°＋∠1＝∠BAE,同理∠AED＝∠CAD,可得出△ADE∽△BAE∽△CDA.⑴共有七个三角形,它们是：△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、△AEC、△AFG.⑵有相似三角形,它们是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA,△ADE∽△CDA（或△ADE∽△BAE∽△CDA）.[评注]：本题为考生提供了广阔的探究空间,通过分析、判断,有利于学生创新意识的形成和思维能力的培养.[例2] 如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E.请你根据上述条件,写出一个正确的结论（所写的结论不能自行再添加新的线段及标注其他字母）,并给出证明（证明时允许自行添加辅助线）.[解析]：根据图形易得以下结论：①；②AC＞BC；③AE＞DE；…… 可以得出的结论及证明如下：① 如图连结AD、BC,∵∠A＝∠C,∠E＝∠E,∴△AED∽△CEB ∴ ,即 ②AC＞BC； 如图,连结AD,∵∠1是△ADE的外角,∠A是△ADE的内角 ∴∠A＞∠1 ∵∠1所对的弧是AC,∠A所对的弧是BD,∴AC＞BC； ③AE＞DE.证法一：如图,连结AD、BD、BC.∵∠2是△BCD的外角,∠C是△BCD的内角,∴∠2＞∠C.而∠ADE＞∠2,∠C＞∠A,∴在△ADE中,∠ADE＞∠A.∴AE＞DE 证法二：∵EA·EB＜EA2,ED·EC＞ED2,而EA·EB ＝ED·EC ∴EA2＞ED2,即EA＞ED.[评注]：这是一道以探索结论为目的的开放型试题,它不限结论,而是让考生根据条件去探索结论.因此,这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大有好处.