椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点p使角OPA=90',O为坐标圆点,A为右顶点,求离心率的范围?

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点p使角OPA=90',O为坐标圆点,A为右顶点,求离心率的范围?
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点p使角OPA=90',O为坐标圆点,A为右顶点,求离心率的范围?

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的一点p使角OPA=90',O为坐标圆点,A为右顶点,求离心率的范围?
设P(x,y),由角OPA=90'=>
y/（x-a）*y/x=-1,即x^2+y^2-ax=0 (1)
又b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2=0 (2)
由 (1)(2)得
x=ab^2/a^2-b^2

设P为(acosθ，bsinθ)
A点为(a,0)
向量OP = (acosθ，bsinθ)
向量AP = (acosθ-a，bsinθ)
OP与AP垂直
所以
OP点乘AP
= a^2(cosθ)^2 - a^2cosθ + b^2(sinθ)^2
= a^2(cosθ)^2 - a^2cosθ + (a^2-c^2...

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设P为(acosθ，bsinθ)
A点为(a,0)
向量OP = (acosθ，bsinθ)
向量AP = (acosθ-a，bsinθ)
OP与AP垂直
所以
OP点乘AP
= a^2(cosθ)^2 - a^2cosθ + b^2(sinθ)^2
= a^2(cosθ)^2 - a^2cosθ + (a^2-c^2)(sinθ)^2
= a^2(1-cosθ)-c^2(sinθ)^2
= 0
即，
e^2 = c^2/a^2
=(1-cosθ)/(sinθ)^2
=(1-cosθ)/[1-(cosθ)^2]
=(1-cosθ))/[(1-cosθ)(1+cosθ)]
=1/(1+cosθ) . . . . . . . . . . . . (θ∈[0,2π)) 且 bsinθ 不等于 0
又 0 < e < 1
所以 e^2 ∈( 1/2,1 )
即 e ∈ (√2/2,1 )

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