四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,角AEF=90°,AE=EF,G是BC延长线上一点(1)求证：CF平分角DCG(2)若H是CD边上的中点,求证：四边形ECFH为平行四边形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 00:54:18
四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,角AEF=90°,AE=EF,G是BC延长线上一点(1)求证：CF平分角DCG(2)若H是CD边上的中点,求证：四边形ECFH为平行四边形
四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,角AEF=90°,AE=EF,G是BC延长线上一点
(1)求证：CF平分角DCG
(2)若H是CD边上的中点,求证：四边形ECFH为平行四边形
四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,角AEF=90°,AE=EF,G是BC延长线上一点(1)求证：CF平分角DCG(2)若H是CD边上的中点,求证：四边形ECFH为平行四边形
过F作FP⊥BG于P
1、在RT△ABE和RT△EFP中
AE=EF
∠BAE=90-∠AEB
∠FEP=90-∠AEB
∴∠BAE=∠FEP
∴△ABE≌△EFP
∴EP=AB,FP=BE
CP=EG-EC=BE=FP
∴CF平分∠DCG
2、∵HC=EC
∴∠HEC=∠FCG=45
∴HE∥CF
而HF∥EC
∴ECFH是平行四边形
过点F做BC延长线上的垂线FJ,垂足问J，
证明：(1)由已知得，AE=EF,角BAE=角CEF,角B=角BJF=90
得：三角形ABE相似且相等于三角形CEF.
又E为BC的中点，从而C为EJ的中点，
故得，CJ=FJ=BE,又角BJF为直角，
从而得：角FCJ=角CFJ=45,即线CF平分直...
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过点F做BC延长线上的垂线FJ,垂足问J，
证明：(1)由已知得，AE=EF,角BAE=角CEF,角B=角BJF=90
得：三角形ABE相似且相等于三角形CEF.
又E为BC的中点，从而C为EJ的中点，
故得，CJ=FJ=BE,又角BJF为直角，
从而得：角FCJ=角CFJ=45,即线CF平分直角DCG.
(2),由已知得，CE=CH,角BCD为直角，所以角CEH=45=角FCJ
即EH平行于CF
又CE=CJ
故有三角形CEH相似且相等于三角形CFJ.
即CF=EH
所以得四边形ECFH为平行四边形。（根据平行四边形定理，四边形一边平行且相等，即四边形为平行四边形。）
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