设X与Y不相关,并且有相同的分布,又U=aX+bY,V=cY+dY,求U与V的相关系数.求详解

设X与Y不相关,并且有相同的分布,又U=aX+bY,V=cY+dY,求U与V的相关系数.求详解
设X与Y不相关,并且有相同的分布,又U=aX+bY,V=cY+dY,求U与V的相关系数.求详解

设X与Y不相关,并且有相同的分布,又U=aX+bY,V=cY+dY,求U与V的相关系数.求详解
由题设,E(XY)=E(X)E(Y),且E(X)=E（Y）,D(X)=E(X^2)-E^2(X)=D(Y),因此E(X^2)=E(Y^2).
分子=E(UV)-E(U)E(V)=E(acX^2+bdY^2+adXY+bcXy)-acE^2(X)-bdE^2(Y)-adE(XY)-bcE(XY)=(ac-bd)[E(X^2)-E^2(X)];
E(U^2)-E^2(U)=E(a^2X^2+b^2Y^2+2abXY)-[aE(X)+bE(Y)]^2=(a^2+b^2)[E(X^2)-E^2(X)];同理E(V^2)-E^2(V)==(c^2+d^2)[E(X^2)-E^2(X)];
分母=[E(U^2)-E^2(U)]^0.5*[E(V^2)-E^2(V)]^0.5=[(a^2+b^2)*(c^2+d^2)]^0.5*[E(X^2)-E^2(X)];
r(UV)=分子/分母=(ac-bd)/[(a^2+b^2)*(c^2+d^2)]^0.5.步骤略有简化.