如图所示,质量为m的小球沿半径为R的光滑半圆球形碗的内表面以周期T在某一水平内做匀速圆周运动,求小球做匀速圆周运动的水平面离碗底的高度h是多少? 在线等

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如图所示,质量为m的小球沿半径为R的光滑半圆球形碗的内表面以周期T在某一水平内做匀速圆周运动,求小球做匀速圆周运动的水平面离碗底的高度h是多少? 在线等
质量为m的小球沿半径为R的光滑半圆球形碗的内表面以周期T在某一水平内做匀速圆周运动,做匀速圆周运动的水平面离碗底的高度h.
则匀速圆周运动的平面至球心（碗的上平面）的距离为R-h
小球做匀速圆周运动的半径r=√{R²-(R-h)²} = √(2Rh-h²)
小球做匀速圆周运动的圆速度v=2πr/T
小球做匀速圆周运功的向心力：
F=mv²/r = m(2πr/T)² /r = 4π²mr/T²
半圆球形碗对小球的支持力N的方向指向球心；
重力方向mg竖直向下；
二力的合力提供向心力F,其方向指向匀速圆周运动水平面圆的圆心.
根据力三角形关系：F / (mg) = (R-h) / r,即：
(4π²mr/T²) / (mg) = (R-h) / r
4π²mr² = (R-h) T²
又：r = √(2Rh-h²),所以：
4π²m(2Rh-h²) = (R-h) T²,化简得：
4π²mh² - (8π²mR+T²)h + T²R = 0
判别式：△ = (8π²mR+T²)² - 4 × 4π²m × T²R = 64(π²)²m²R² + (T²)² ＞ 0
h = { (8π²mR+T²) ± √△} /(2 × 4π²m) = { (8π²mR+T²) ± √ [ 64(π²)²m²R² + (T²)² ] } /(8π²m)