微分方程xy·y'=x^2+y^2,满足(e,2e)的特解是?如何用初始条件确定解的定义域

微分方程xy·y'=x^2+y^2,满足(e,2e)的特解是?如何用初始条件确定解的定义域
微分方程xy·y'=x^2+y^2,满足(e,2e)的特解是?
如何用初始条件确定解的定义域

微分方程xy·y'=x^2+y^2,满足(e,2e)的特解是?如何用初始条件确定解的定义域
这个方程不能直接用常数变异法做!
我换个方法:
微分方程xy·y'=x^2+y^2等价dy/dx=x/y+y/x(xy不=0),显然(0,0)为特解
P=y/x,
得xdp/dx=1/p
x^2=Cexp(p^2)
(x)^2=Cexp[(y/x)^2]
满足(e,2e)的特解得C=exp(-2)
初始条件确定解的定义域:y'=(x^2+y^2)/(xy)
右端函数在除(x=0,y=0两轴)全平面连续,关于y满足L-条件
所以满足初始条件的唯一解可以延拓到:向左到x=0,右到无穷
其实可以看出因为x如果趋向0,解y^2=x^2*lnx^2-x^2*lnc趋向无穷
所以解定义在(0,+无穷)

先解齐次方程xy·y'=y^2
∵xy·y'=y^2 ==>xy'=y
==>dy/y=dx/x
==>ln|y|=ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx
∴齐次方程xy·y'=y^2的通解是y=Cx (C是积分常数)

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先解齐次方程xy·y'=y^2
∵xy·y'=y^2 ==>xy'=y
==>dy/y=dx/x
==>ln|y|=ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx
∴齐次方程xy·y'=y^2的通解是y=Cx (C是积分常数)
∴设原方程的通解为y=C(x)x (C(x)是关于x的函数)
∵把它代入原方程，整理得C(x)C'(x)=x
∴C²(x)/2=x²/2+C²/2 (C是积分常数)
==>C²(x)=x²+C²
∴原方程的通解是y²=(x²+C²)x² (C是积分常数)
∵当x=e时，y=2e。即4e²=(e²+C²)e² ==>C²=4-e²
∴y²=(x²+4-e²)x²
故原方程满足(e,2e)的特解是y²=(x²+4-e²)x²

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y'=y/x+x/y即dy/dx=y/x+x/y…………（1）,
方程是y'=P(x)*y+Q(x)*y^n型的，用z=y^(1-n)代换。
用z=y^2…………(2)代换,
z=y^2两边对x求导得
dz/dx=2y*dy/dx
从而dy/dx=(1/2y)*dz/dx,代入(1)并消去y,得
dz/dx=(2/x)*z+2x，(y'=P(x)*y...

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y'=y/x+x/y即dy/dx=y/x+x/y…………（1）,
方程是y'=P(x)*y+Q(x)*y^n型的，用z=y^(1-n)代换。
用z=y^2…………(2)代换,
z=y^2两边对x求导得
dz/dx=2y*dy/dx
从而dy/dx=(1/2y)*dz/dx,代入(1)并消去y,得
dz/dx=(2/x)*z+2x，(y'=P(x)*y+Q(x)型，常数变异法)，解得z=2x^2*ln|x|+cx^2,c为常数。
用z=y^2消去z得，y^2=2x^2*ln|x|+cx^2，解满足(e,2e),故c=2。
由y^2>=0得2x^2*ln|x|+2x^2>=0，即2x^2*(ln|x|+1)>=0，从而ln|x|+1>=0，|x|>=1/e为定义域。
验证y^2=2x^2*ln|x|+2x^2，两边对x求导得
yy'=2x*ln|x|+3x
故xyy'=2x^2*ln|x|+3x^2=（2x^2*ln|x|+2x^2）+x^2=x^2+y^2

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先解齐次方程xy·y'=y^2
∵xy·y'=y^2 ==>xy'=y
==>dy/y=dx/x
==>ln|y|=ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx
∴齐次方程xy·y'=y^2的通解是y=Cx (C是积分常数)

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先解齐次方程xy·y'=y^2
∵xy·y'=y^2 ==>xy'=y
==>dy/y=dx/x
==>ln|y|=ln|x|+ln|C| (C是积分常数)
==>y=Cx
∴齐次方程xy·y'=y^2的通解是y=Cx (C是积分常数)
∴设原方程的通解为y=C(x)x (C(x)是关于x的函数)
∵把它代入原方程，整理得C(x)C'(x)=x
∴C²(x)/2=x²/2+C²/2 (C是积分常数)
==>C²(x)=x²+C²
∴原方程的通解是y²=(x²+C²)x² (C是积分常数)
∵当x=e时，y=2e。即4e²=(e²+C²)e² ==>C²=4-e²
∴y²=(x²+4-e²)x²
故原方程满足(e,2e)的特解是y²=(x²+4-e²)x²

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