一道无穷限广义积分题求解.+∞∫e^(-px) * sin(ux)dx0其中p>0,u>0分部换元我都用了，就是做不上

一道无穷限广义积分题求解.+∞∫e^(-px) * sin(ux)dx0其中p>0,u>0分部换元我都用了，就是做不上
一道无穷限广义积分题求解.
+∞
∫e^(-px) * sin(ux)dx
0
其中p>0,u>0
分部换元我都用了，就是做不上

一道无穷限广义积分题求解.+∞∫e^(-px) * sin(ux)dx0其中p>0,u>0分部换元我都用了，就是做不上
∫e^(-px) * sin(ux)dx = 1/(-p)∫sin(ux)de^(-px)
=1/(-p) * sin(ux) * e^(-px) - 1/(-p) * ∫e^(-px) * u*cos(ux)dx
=1/(-p) * sin(ux) * e^(-px) - 1/((-p)^2) * ∫u*cos(ux)de^(-px)
=1/(-p) * sin(ux) * e^(-px) - u/(p^2) *[cos(ux)e^(-px)-∫e^(-px)dcos(ux)]
=1/(-p) * sin(ux) * e^(-px) - u/(p^2)*cos(ux)e^(-px)-u∫e^(-px) * sin(ux)dx
所以
∫e^(-px) * sin(ux)dx =1/(u+1) * [1/(-p) * sin(ux) * e^(-px) - u/(p^2) * cos(ux)e^(-px)]

过程太复杂，不好写，就写写方法吧，你应该能看懂
令I=原式
先部分积分把sin放进去，求出得(1/u)-(e*cos的积分)
部分积分，把cos放进去得，I=(1/u)+(1/u^2)I
求出I即可

对∫e^(-px) * sin(ux)dx 用两次分部积分 这时右边会出现-(u^2/p^2)∫e^(-px)sin(ux)dx
移项便会求的积分
∫e^(-px) * sin(ux)dx
=∫sin(ux)d[(-1/p)e^(-px)]
=(-1/p)e^(-px)sin(ux)
+∫(1/p)e^(-px)*u*cos(ux)dx

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对∫e^(-px) * sin(ux)dx 用两次分部积分 这时右边会出现-(u^2/p^2)∫e^(-px)sin(ux)dx
移项便会求的积分
∫e^(-px) * sin(ux)dx
=∫sin(ux)d[(-1/p)e^(-px)]
=(-1/p)e^(-px)sin(ux)
+∫(1/p)e^(-px)*u*cos(ux)dx
=(-1/p)e^(-px)sin(ux)
+(u/p)∫cos(ux)d[(-1/p)e^(-px)]
=(-1/p)e^(-px)sin(ux)+{(-u/p^2)e^(-px)cos(ux)-∫(-u/p^2)e^(-px)*u*[-sin(ux)]dx
=[e^(-px)sin(ux)]/p-ue^(-px)cos(ux)/p^2-
(u^2/p^2)∫e^(-px)sin(ux)dx
即
∫e^(-px) * sin(ux)dx
=[e^(-px)sin(ux)]/p-ue^(-px)cos(ux)/p^2-
(u^2/p^2)∫e^(-px)sin(ux)dx
所以
(1+u^2/p^2)*∫e^(-px) * sin(ux)dx
=[e^(-px)sin(ux)]/p-ue^(-px)cos(ux)/p^2
即
∫e^(-px) * sin(ux)dx
={[e^(-px)sin(ux)]/p-ue^(-px)cos(ux)/p^2}/(1+u^2/p^2)+c
所以
+∞
∫e^(-px) * sin(ux)dx
0
=1/(u^2+p^2)

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先解决不定积分:∫e^(-px) * sin(ux)dx
通过分部换元得
∫e^(-px) * sin(ux)dx =
(-sin(ux)e^-px)/p+u/p(∫e^(-px) * cos(ux)dx) (1)式
再求∫e^(-px) * cos(ux)dx

全部展开

先解决不定积分:∫e^(-px) * sin(ux)dx
通过分部换元得
∫e^(-px) * sin(ux)dx =
(-sin(ux)e^-px)/p+u/p(∫e^(-px) * cos(ux)dx) (1)式
再求∫e^(-px) * cos(ux)dx
通过分部换元得
∫e^(-px) * cos(ux)dx
(-cos(ux)e^(-px))/p-u/p(∫e^(-px) * sin(ux)dx) (2)式
(1)(2) 合并起来有
∫e^(-px) * sin(ux)dx=
sin(ux)e^(-px)/p-ucos(ux)e^-px/p^2-u/p∫e^(-px) * sin(ux)dx
∫e^(-px) * sin(ux)dx=sin(ux)e^(-px)/(u+p)-ucos(ux)/p(p+u)+C
然后自己解

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