已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 18:06:33
已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单

已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性
已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性

已知函数f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,值域,并确定函数的奇偶性,单调性
f(x)=(1/2)(2^x+2^(-x))
(1)
定义域:
R
(2)
f(x)≥(1/2)*2√(2^x·2^(-x)=1
y∈[1,+∞)
(3)
f(-x)=(1/2)(2^(-x)+2^(x))=f(x)
所以f(x)是偶函数
(4)
由(3)可知,函数f(x)是偶函数,
当x>0时,
f '(x)=(1/2)[2^x+(1/2)^x] '=(1/2)[(2^x)ln2-(1/2)^xln2]=(ln2)/2][2^x-1/2^x]>0
f(x)在(0,+∞)上单调增,
由奇偶性得,在(-∞,0)上单调减;

f(x)=1/2(2^x+2^(-x)),求f(x)的定义域,R
2^x=t>0
2y=t+1/t
t²-2ty+1=0---(1)
t∈R,方程(1)有实数根
∆=4y²-4≧0, y²≧1, ∴y≧1, 或-1≧y
∵y>0 ∴y≧1 值域y≧1
又满足f(-x)=f(x)是偶函数