在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2（1）求异面直线BE与AF所成角的余弦值（2）求证：bd⊥面ACE（3）求二面角E-AC-F的余弦值

在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2（1）求异面直线BE与AF所成角的余弦值（2）求证：bd⊥面ACE（3）求二面角E-AC-F的余弦值
在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2
（1）求异面直线BE与AF所成角的余弦值
（2）求证：bd⊥面ACE
（3）求二面角E-AC-F的余弦值

在所示的几何体中,底面ABCD是直角梯形,AB‖CD,∠DAB=90°,EA⊥底面ABCD,FD‖EA,EA=AB=2,FD=DC=1,AD=根号2（1）求异面直线BE与AF所成角的余弦值（2）求证：bd⊥面ACE（3）求二面角E-AC-F的余弦值
（根据说明自己画辅助线）
分别取AE、AB的中点M、N,延长DF,使FG＝DF,连结MN、MG、GN.
∵EA⊥底面ABCD ,FD‖EA
∴ FD⊥底面ABCD
∵AM＝FG＝1,且GF∥AM
∴四边形AMGF是平行四边形
∴MG∥AF
在△ABE中,MN∥BE
∴∠GMN为异面直线BE与AF所成的角或其补角.
在Rt△AMN中,AM＝1 AN＝1
∴MN＝√2,
在Rt△ADF中,DF＝1 AD＝√2
∴ AF＝√3
∵ AG＝AF＝√3
在Rt△ADN中,AN＝1 ,AD＝√2
∴DN＝√3
连结DN,在Rt△DNG中,DG＝2,DN＝√3
∴NG＝√7
在△MNG中,由余弦定理,得
cos∠GMN＝(MN²＋GM²－GN²)／2MN·GM＝﹣√6／6
∴ ∠GMN的补角的余弦值为√6／6
故 异面直线BE与AF所成角的余弦值为√6／6
（2）设AC与BD的交点为O.
∵ AB‖CD
∴ △OBA∽△ODC
∴OB／OD＝OA／OC＝AB／CD＝2／1＝2
∴OA＝2／3AC ,OB＝2／3BD
在Rt△ABD中,AB＝2 ,AD＝√2
∴BD＝√(AB²＋AD²)＝√6
在Rt△ADC中,AD＝√2 ,DC＝1
∴AC＝√(AD²＋DC²)＝√3
∴ OA＝2／3AC ＝2√3／3 ,OB＝2／3BD＝2√6／3
∴在△ABO中,有 AB²＝4,AO²＋BO²＝（2√3／3 ）²＋（2√6／3）² ＝4
∴AB²＝AO²＋BO²
∴ON⊥OB
即BD⊥AC
∵EA⊥底面ABCD
∴ 平面EAC⊥平面ABCD
∴ 平面与平面垂直的性质知：BD⊥面ACE
(3) 在平面EAC内作OH⊥AC交EC于H,连结OF.
∴OH∥EA
∵FD⊥平面ABCD ,DO⊥AC
∴由三垂线定理,得 OF⊥AC
∴ ∠HOF为平面EAC与平面FAC所成二面角的平面角
∵DF∥EA∥HO
∴DF∥HO
∴∠DFO＝∠HOF
在Rt△DOF中,DF＝1 ,DO＝1／3BD＝√6／3
∴OF＝√(DO²＋DF²)＝√15／3
COS∠DFO＝DF／OF＝＝√15／5
即 COS∠HOF ＝√15／5
故二面角E-AC-F的余弦值√15／5