已知函数f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x,t∈R.(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c（a＜b＜c)处取到极值.①求t的取值范围；②若a+c=2b^2,求t的值； （2）若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,试
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 22:06:17
已知函数f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x,t∈R.(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c（a＜b＜c)处取到极值.①求t的取值范围；②若a+c=2b^2,求t的值； （2）若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,试
已知函数f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x,t∈R.
(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c（a＜b＜c)处取到极值.①求t的取值范围；②若a+c=2b^2,求t的值； （2）若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,试求正整数m的最大值.
已知函数f(x)=(x^3-6x^2+3x+t)e^x,t∈R.(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c（a＜b＜c)处取到极值.①求t的取值范围；②若a+c=2b^2,求t的值； （2）若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,试
本题是导数的综合运用问题,估计应该属于中高档题.
1、求导,有f'(x)=(x^3－3x^2－9x＋t＋3)e^x,故函数f(x)有三个极值点,即方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0有三个根,再设g(x)=x^3－3x^2－9x＋t＋3,即函数g(x)与x轴要有三个交点,也即函数g(x)的极大值要大于0,且其极小值要小于0.再对g(x)求导可知,g(x)的极大值为g(－1),g(x)的极小值为g(3).第二小问,a、b、c是方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0的三个根,即x^3－3x^2－9x＋t＋3=(x－a)(x－b)(x－c),再利用对应项系数相等,是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式,建立t与之的函数式,比如得到t=h(a),估计要确定下a的取值范围.
2、由于x∈[1,m],则x>0,所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1,即函数f(x)/x在区间[1,m]上的最大值小于等于1,这个最大值中肯定含有字母m、t,转而将此看成是关于t的表达式,即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究.
由于计算和打字比较复杂,思路分析如上,你自己去试下,我想应该没问题了.