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杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … …
杨辉三角最本质的特征是,它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.杨辉,字谦光,北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图.而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律.现在要求我们用编程的方法输出这样的数表.
同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为
0 (a+b)^0 (0 nCr 0)
1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)
2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)
3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)
. ... ... ... ... ...
因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x）
我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^x (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)
[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]
其实,中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章,而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
杨辉,字谦光,北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图.
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律.具体的用法我们会在教学内容中讲授.
在国外,这也叫做"帕斯卡三角形". 还有小故事: (一)失之毫厘,谬以千里
1967年8月23日,苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时,突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开.苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故.当电视台的播音员用沉重的语调宣布,宇宙飞船在两小时后将坠毁,观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后,举国上下顿时被震撼了,人们都沉浸在巨大的悲痛之中.
在电视上,观众们看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象.他面带微笑地对母亲说：“妈妈,您的图像我在这里看得清清楚楚,包括您头上的每根白发,您能看清我吗?” “能,能看清楚.儿啊,妈妈一切都很好,你放心吧!” 这时,科马洛夫的女儿也出现在电视屏幕上,她只有12岁.科马洛夫说：“女儿,你不要哭.”“我不哭……”女儿已泣不成声,但她强忍悲痛说：“爸爸,你是苏联英雄,我想告诉你,英雄的女儿会像英雄那样生活的!” 科马洛夫叮嘱女儿说：“你学习时,要认真对待每一个小数点.联盟一号今天发生的一切,就是因为地面检查时忽略了一个小数点……”
时间一分一秒地过去了,距离宇宙飞船坠毁的时间只有7分钟了.科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说：“同胞们,请允许我在这茫茫的太空中与你们告别.”
即使是一个小数点的错误,也会导致永远无法弥补的悲壮告别.
古罗马的恺撒大帝有句名言：“在战争中,重大事件常常就是小事所造成的后果.” 换成我们中国的警句大概就是“失之毫厘,谬以千里”吧.
(二)一个故事引发的数学家
陈景润一个家喻户晓的数学家,在攻克歌德巴赫猜想方面作出了重大贡献,创立了著名的“陈氏定理”,所以有许多人亲切地称他为“数学王子”.但有谁会想到,他的成就源于一个故事. 1937年,勤奋的陈景润考上了福州英华书院,此时正值抗日战争时期,清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧,不想因战事被滞留家乡.几所大学得知消息,都想邀请沈教授前进去讲学,他谢绝了邀请.由于他是英华的校友,为了报达母校,他来到了这所中学为同学们讲授数学课. 一天,沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有趣的现象：6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,28=5+23,100=11+89.每个大于4的偶数都可以表示为两个奇数之和.因为这个结论没有得到证明,所以还是一个猜想.大数学欧拉说过：虽然我不能证明它,但是我确信这个结论是正确的. 它像一个美丽的光环,在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉.……”陈景润瞪着眼睛,听得入神.
从此,陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣.课余时间他最爱到图书馆,不仅读了中学辅导书,这些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读.因此获得了“书呆子”的雅号. 兴趣是第一老师.正是这样的数学故事,引发了陈景润的兴趣,引发了他的勤奋,从而引发了一位伟大的数学家.
(三)为科学而疯的人
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度.在1874—1876年期间,不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战.他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应.这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论.
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突,遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂.有人说,康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是“疯子”.来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院.
真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作.”可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦.1918年1月6日,康托尔在一家精神病院去世.
康托尔(1845—1918),生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭,10岁随家迁居德国,自幼对数学有浓厚兴趣.23岁获博士学位,以后一直从事数学教学与研究.他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础.
(四)数学家的“健忘”
我国数学家吴文俊教授六十寿辰那天,仍如往常,黎明即起,整天浸沉在运算和公式中.
有人特地选定这一天的晚间登门拜门拜访,寒暄之后,说明来意：“听您夫 人说,今天是您六十大寿,特来表示祝贺.” 吴文俊仿佛听了一件新闻,恍然大悟地说：“噢,是吗?我倒忘了.” 来人暗暗吃惊,心想:数学家的脑子里装满了数字,怎么连自己的生日也记不住?
其实,吴文俊对日期的记忆力是很强的.他在将近花甲之年的时候,又先攻 了一个难题——“机器证明”.这是为了改变了数学家“一支笔、一张纸、一个脑袋”的劳动方式,运用电子计算机来实现数学证明,以便数学家能腾出更多的时间来进行创造性的工作,他在进行这项课题的研究过程中,对于电子计算机安装的日期、为计算机最后编成三百多道“指令”程序的日期,都记得一清二楚.
后来,那位祝寿的来客在闲谈中问起他怎么连自己生日也记不住的时候,他知着回答：
“我从来不记那些没有意义的数字.在我看来,生日,早一天,晚一天,有 什么要紧?所以,我的生日,爱人的生日,孩子的生日,我一概不记,他从不想 要为自己或家里的人庆祝生日,就连我结婚的日子,也忘了.但是,有些数字非记不可,也很容易记住……”
(五)苹果树下的例行出步
1884年春天,年轻的数学家阿道夫·赫维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授,年龄还不到25岁,在函数论方面已有出色的研究成果．希尔伯特和闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系．他们这三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果树下散步．希尔伯特后来回忆道：“日复一日的散步中,我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换我们对问题新近获得的理解,交流彼此的想法和研究计划．”在他们三人中,赫维茨有着广泛“坚实的基础知识,又经过很好的整理,”所以他是理所当然的带头人,并使其他两位心悦诚服．当时希尔伯特发现,这种学习方法比钻在昏暗的教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍,这种例行的散步一直持续了整整八年半之久．以这种最悠然而有趣的学习方式,他们探索了数学的“每一个角落”,考察着数学世界的每一个王国,希尔伯特后来回忆道：“那时从没有想到我们竟会把自己带到那么远!”三个人就这样“结成了终身的友谊．”
(六)报效祖国宏愿--华罗庚的故事
同学们都知道,华罗庚是一位靠自学成才的世界一流的数学家.他仅有初中文凭,因一篇论文在《科学》杂志上发表,得到数学家熊庆来的赏识,从此华罗庚北上清华园,开始了他的数学生涯. 1936年,经熊庆来教授推荐,华罗庚前往英国,留学剑桥.20世纪声名显赫的数学家哈代,早就听说华罗庚很有才气,他说："你可以在两年之内获得博士学位."可是华罗庚却说："我不想获得博士学位,我只要求做一个访问者.""我来剑桥是求学问的,不是为了学位."两年中,他集中精力研究堆垒素数论,并就华林问题、他利问题、奇数哥德巴赫问题发表18篇论文,得出了著名的"华氏定理",向全世界显示了中国数学家出众的智慧与能力.
1946年,华罗庚应邀去美国讲学,并被伊利诺大学高薪聘为终身教授,他的家属也随同到美国定居,有洋房和汽车,生活十分优裕.当时,不少人认为华罗庚是不会回来了.新中国的诞生,牵动着热爱祖国的华罗庚的心.1950年,他毅然放弃在美国的优裕生活,回到了祖国,而且还给留美的中国学生写了一封公开信,动员大家回国参加社会主义建设.他在信中坦露出了一颗爱中华的赤子之心："朋友们!梁园虽好,非久居之乡.归去来兮……为了国家民族,我们应当回去……"虽然数学没有国界,但数学家却有自己的祖国.
华罗庚从海外归来,受到党和人民的热烈欢迎,他回到清华园,被委任为数学系主任,不久又被任命为中国科学院数学研究所所长.从此,开始了他数学研究真正的黄金时期.他不但连续做出了令世界瞩目的突出成绩,同时满腔热情地关心、培养了一大批数学人才.为摘取数学王冠上的明珠,为应用数学研究、试验和推广,他倾注了大量心血.
据不完全统计,数十年间,华罗庚共发表了152篇重要的数学论文,出版了9部数学著作、11本数学科普著作.他还被选为科学院的国外院士和第三世界科学家的院士.
(七)、中西文化交流之倡导者
莱布尼兹对中国、的科学、文化和哲学思想十分关注,是最早研究中国文化和中国哲学的德国人.他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况,包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等,并将这些资料编辑成册出版.他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系.在《中国近况》一书的绪论中,莱布尼兹写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端,即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国.”“中国这一文明古国与欧洲相比,面积相当,但人口数量则已超过.”“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面,我们是不分伯仲的.我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能.在思考的缜密和理性的思辩方面,显然我们要略胜一筹”,但“在时间哲学,即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面,我们实在是相形见拙了.”在这里,莱布尼兹不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神,而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图,极力推动这种交流向纵深发展,是东西方人民相互学习,取长补短,共同繁荣进步.莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力,产生了广泛而深远的影响.他的虚心好学、对中国文化平等相待,不含“欧洲中心论”偏见的精神尤为难能可贵,值得后世永远敬仰、效仿.

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