已知a≥1/2,函数f(x)=-aˆ2xˆ2+ax+c.已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α,β,证明|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤aˆ2-a

已知a≥1/2,函数f(x)=-aˆ2xˆ2+ax+c.已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α,β,证明|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤aˆ2-a
已知a≥1/2,函数f(x)=-aˆ2xˆ2+ax+c.
已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α,β,证明|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤aˆ2-a

已知a≥1/2,函数f(x)=-aˆ2xˆ2+ax+c.已知关于x的实系数二次方程f(x)=0有两个实数根α,β,证明|α|≤1,且|β|≤1的充要条件是c≤aˆ2-a
充分性
f(x)= -(ax-1/2)^2+c+1/4,对称轴为x=1/2a,因为a≥1/2,所以0<1/2a≤1,即对称轴在（0,1]内,因为c≤aˆ2-a,所以f(1)=-aˆ2+a+c≤0,又因为f(x)=0有解,即f(1/2a)=c+1/4≥0,由根的存在性定理,在[1/2a,1]中有一根,即在[-1,1]中,区间长度为1-1/2a,根据对称性,则在[1/2a-(1-1/2a),1/2a]中也存在一根,即[1/a-1,1/2a],因为-1<1/a-1,所以另一根也在[-1,1]中.
必要性
因为两根在[-1,1]内,且对称轴x=1/2a在(-1,1)中,所以由根的存在性定理,f(-1)=-a^2-a+c≤0,即c≤a^2+a,f(1)=a^2+a+c≤0,即c≤a^2-a,因为a^2-a