函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.（1）f(x)是偶函数（2）f(x+5)是奇函数（3）f(x)=f(x+2)（4）f(x+3)是奇函数正确的应该是（2）和（4）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:48:45
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.（1）f(x)是偶函数（2）f(x+5)是奇函数（3）f(x)=f(x+2)（4）f(x+3)是奇函数正确的应该是（2）和（4）
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.
（1）f(x)是偶函数
（2）f(x+5)是奇函数
（3）f(x)=f(x+2)
（4）f(x+3)是奇函数
正确的应该是（2）和（4）
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.（1）f(x)是偶函数（2）f(x+5)是奇函数（3）f(x)=f(x+2)（4）f(x+3)是奇函数正确的应该是（2）和（4）
根据已知：
f(x+1)=-f(-x+1),
那么f(x)=-f(-x+2)………………（1）
f(x-1)=-f(-x-1)
那么f(x)=-f(-x-2)……………………（2）
根据（1）（2）,那么-f(-x+2)=-f(-x-2)
那么f(x)=f(x+4)…………………………（3）
（1）显然是错的,可以画一个折线的周期图象,使其符合条件,在原点附近分别为+-
（2）根据（3）函数f(x)是周期4的周期函数,f(x+1)是奇函数,f(x+5)也是奇函数
（3）错误,f(x)=f(x+4)
(4)同（2）,f(x-1)是奇函数,那么f(x+3)是奇函数
对于任意x满足
f(x+1)=-f(-x+1)……1
f(x-1)=-f(-x-1)……2
将x+2带入1式
f(x+2+1)=f(-x-2+1)
f(x+3)=f(-x-1)=f(x-1)……3
因为f(x-1)为奇函数
所以f(x+3)为奇函数
再将x+2代入3式
f(x+5)=f(x+1)
因为f(x...
全部展开
对于任意x满足
f(x+1)=-f(-x+1)……1
f(x-1)=-f(-x-1)……2
将x+2带入1式
f(x+2+1)=f(-x-2+1)
f(x+3)=f(-x-1)=f(x-1)……3
因为f(x-1)为奇函数
所以f(x+3)为奇函数
再将x+2代入3式
f(x+5)=f(x+1)
因为f(x+1)为奇函数
所以f(x+5)为奇函数
题外话：
将x+1代入3式
可得f(x+4)=f(x)
由此的到f(x)为周期为4的函数
收起
若f(x+1)和f(x-1)都是奇函数那么说明f（x)这个函数向x轴反方向移动一个单位和向x轴正方向移动一个单位结果是一样的，就是说f（x+1)是个周期为2的奇函数，当然选二四选项了
若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，
则f(-x+1)=-f(x+1),且f(-x-1)=-f(x-1),
以x+1代x,得f(-x)=-f(x+2),f(-x-2)=-f(x)=f(x+2),
∴f(x)是偶函数。
f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x+5)=f(x+1),f(x+3)=f(x-1),
正确的有(1),(2),(4).