如图,已知:AC=BC,AC⊥BC,AE⊥CF,BF⊥CE,C,E,F分别为垂足,且∠BCF=∠ABF,CF交AB于D.（1）求证△BCF全等△CAE（2）判断△ADC是不是等腰三角形,并说明理由.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 00:04:26
如图,已知:AC=BC,AC⊥BC,AE⊥CF,BF⊥CE,C,E,F分别为垂足,且∠BCF=∠ABF,CF交AB于D.（1）求证△BCF全等△CAE（2）判断△ADC是不是等腰三角形,并说明理由.
如图,已知:AC=BC,AC⊥BC,AE⊥CF,BF⊥CE,C,E,F分别为垂足,且∠BCF=∠ABF,CF交AB于D.
（1）求证△BCF全等△CAE
（2）判断△ADC是不是等腰三角形,并说明理由.
如图,已知:AC=BC,AC⊥BC,AE⊥CF,BF⊥CE,C,E,F分别为垂足,且∠BCF=∠ABF,CF交AB于D.（1）求证△BCF全等△CAE（2）判断△ADC是不是等腰三角形,并说明理由.
因AE⊥CF,BF⊥CE,AC⊥BC
则∠AEC=∠CFB=90度∠ACB=90度,
∠ACE+∠CAE=90度
所以∠CAE=∠BCF
在△BCF与△CAE中
∠AEC=∠CFB
∠CAE=∠BCF
AC=CB
所以△BCF全等△CAE
（2）△ADC是等腰三角形
在Rt△BFD中,∠FDB+∠DBF=90度
∠ACB=∠ACD+∠BCD=90度,
又∠BCD=∠DBF
所以∠FDB=∠ACD
因∠CDA=∠FDB
所以∠CDA=∠ACD
所以AC=AD
即△ADC是等腰三角形
角ACD+角FCB=90度，角FCB+角CBF=90度，所以角ACD=角CBF,加两边相等、两直角相等得两三角形全等。
由角BCF=角ABF，两直角相等可知三角形BFD和三角形CFB相似，于是角BDF=角CBF，又角ADC=角BDF，角ACD=角CBF，所以角ACD=角ADC，即三角形ADC是等腰三角形。
（1）△BCF≌△CAE．
理由如下：∵AC⊥BC，AE⊥CF，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
∵AE⊥CF，BF⊥CF，
∴∠AEC=∠F=90°，
在△BCF和△CAE中，
∵∠CAE=∠BCF∠AEC=∠F=90°AC=BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS）；<...
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（1）△BCF≌△CAE．
理由如下：∵AC⊥BC，AE⊥CF，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
∵AE⊥CF，BF⊥CF，
∴∠AEC=∠F=90°，
在△BCF和△CAE中，
∵∠CAE=∠BCF∠AEC=∠F=90°AC=BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS）；
（2）△ADC是等腰三角形．
理由如下：∵AC⊥BC，BF⊥CF，
∴∠ACB=∠F=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠BDF+∠ABF=90°，
∵∠BCF=∠ABF，
∴∠ACD=∠BDF，
又∵∠BDF=∠ADC（对顶角相等），
∴∠ACD=∠ADC，
∴AC=AD，
故△ADC是等腰三角形．
收起
是