求证等差数列!已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a∧2n+n-4

求证等差数列!已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a∧2n+n-4
求证等差数列!
已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a∧2n+n-4

求证等差数列!已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a∧2n+n-4
n=1时,
2a1=2S1=a1 ^2+1-4
a1^2-2a1-3=0
(a1+1)(a1-3)=0
a1=-1(数列各项均为正,舍去)或a1=3
n≥2时,
2an=2Sn-2S(n-1)=an^2+n -4 -a(n-1)^2-(n-1)+4
整理,得
an^2 -2an +1=a(n-1)^2
(an -1)^2=a(n-1) ^2
an -1=-a(n-1)或an -1=a(n-1)
an -1=-a(n-1)时,
an +a(n-1)=1 n=2时,a1+a2=1,a1=3代入
a2=1-a1=1-3=-2

Sn＝1＆＃47；8（an＋2）＾2　　　　　　1Sn－1＝1＆＃47；8　（　an－1　＋2）＾2　　　21－2得Sn－Sn－1＝1＆＃47；8＊（an＾2　－　an－1　＾2　＋　4an－　4an－1　）化简得　an＝1＆＃47；8＊（an＋an－1）（an－an－1）＋　4an－　4an－1　　　　　　　8an＝（an＋an－1）（an－an－1）＋　4an－　4an－1　　　　　　　　（a...

全部展开

Sn＝1＆＃47；8（an＋2）＾2　　　　　　1Sn－1＝1＆＃47；8　（　an－1　＋2）＾2　　　21－2得Sn－Sn－1＝1＆＃47；8＊（an＾2　－　an－1　＾2　＋　4an－　4an－1　）化简得　an＝1＆＃47；8＊（an＋an－1）（an－an－1）＋　4an－　4an－1　　　　　　　8an＝（an＋an－1）（an－an－1）＋　4an－　4an－1　　　　　　　　（an＋an－1）（an－an－1）－　4an－　4an－1　＝0　　　　　　　　　（an＋an－1）（an－an－1）－　4（an　＋　4an－1）　＝0　　　　　　　　　　　（an＋an－1）（an　－　an－1　－4）＝0　　　　　　　得　an　－　an－1　－　4＝0　　　　　　an　－　an－1　＝　4为常数　所以后项减前项为常数　可证明｛an｝　为等差数列　设首项＝a1　公比为q　S7＝［a1（1－q＾7）］＆＃47；（1－q）　S14－S7＝［a1（q＾7－q＾14）］＆＃47；（1－q）　S21－S14＝［a1（q＾14－q＾21）］＆＃47；（1－q）　（S14－S7）＾2＝［a1＾2（q＾14－2q＾21＋q＾28）］＆＃47；（1－q）＾2　S7＊（S21－S14）＝［a1＾2＊（q＾14－2q＾21＋q＾18）］＆＃47；（1－q）＾2　所以（S14－S7）＾2＝S7＊（S21－S14）　所以　S77658S14－S7fjnjS21－S14成等比数列

收起