已知,圆O的弦AB、CD相交于点P,且BP=DP说明PO平分∠BPD

已知,圆O的弦AB、CD相交于点P,且BP=DP说明PO平分∠BPD
已知,圆O的弦AB、CD相交于点P,且BP=DP说明PO平分∠BPD

已知,圆O的弦AB、CD相交于点P,且BP=DP说明PO平分∠BPD
分两种情况讨论：
1、圆心O点在∠BPD内：
连接BO、DO,∴BO=DO,OP=OP,BP=DP,
∴△BOP≌△DOP﹙SSS﹚,
∴∠BPO=∠DPO,
∴PO平分∠BPD.
2、圆心O点在∠BPD外：
连接OB、OD,延长OP交圆O于E点,
∴OB=OD,OP=OP,BP=DP,
∴△BOP≌△DOP﹙SSS﹚,
∴∠BPO=∠DPO,
∴∠BPE=∠DPE﹙等角的补角相等﹚,
∴PO直线平分∠BPD.

即PO平分∠BPD （2）证明：继（1）∵Rt⊿PEO≌Rt⊿PFO ∴PE=PF ∵垂直于弦的直径平分弦∴AE=BE，CF=DF ∵AB=CD ∴AE=AF ∵PA=PE-AE，PC=PF