如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点.(Ⅰ)求证:CF∥面APE;(Ⅱ)求证:PO⊥面ABCE.求二面角E-AP-B的余弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:04:00
如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点.(Ⅰ)求证:CF∥面APE;(Ⅱ)求证:PO⊥面ABCE.求二面角E-AP-B的余弦值
如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向
上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点.
(Ⅰ)求证:CF∥面APE;
(Ⅱ)求证:PO⊥面ABCE.
求二面角E-AP-B的余弦值
如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB,F是BP的中点.(Ⅰ)求证:CF∥面APE;(Ⅱ)求证:PO⊥面ABCE.求二面角E-AP-B的余弦值
(Ⅰ)欲证CF∥面APE,而FC⊂平面FGC,可先证平面APE∥平面FGC,取AB中点G,连接GF,GC,易证四边形AECG为平行四边形,则AE∥GC,而GF∥AP,GF∩GC=G,AE∩AP=A,满足面面平行的判定定理所需条件;
(Ⅱ)欲证PO⊥面ABCE,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PO与面ABCE内两相交直线垂直,取BC的中点H,连OH,PH,根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面POH,则BC⊥PO,而PO⊥AE,又BC与AE相交满足定理条件.
(Ⅰ)取AB中点G,连接GF,GC,∵EC∥AG,EC=AG,∴四边形AECG为平行四边形,∴AE∥GC
在△ABP中,GF∥AP
又GF∩GC=G,AE∩AP=A
所以平面APE∥平面FGC
又FC⊂平面FGC
所以,CF∥面APE
(Ⅱ)PA=PE,OA=OE ∴PO⊥AE
取BC的中点H,连OH,PH,
∴OH∥AB,∴OH⊥BC
因为PB=PC∴BC⊥PH,
同时易知BC⊥OH,PH∩OH=H,所以BC⊥面POH
从而BC⊥PO
又AB和CE平行且不相等,∴BC与AE相交,
∴PO⊥面ABCE
1、取AP的中点记为G,由中位线定理,FG//AB,同时CE//AB,且CE=FG=1/2AB,则CFGE为平行四边形,得出CF//EG,从而CF//面APE
2、取BC的中点H,PB=PC,则PH⊥BC,另外OH⊥BC,则BC⊥面POH,从而BC⊥PO,最后得出PO⊥BC,PO⊥AE,则PO⊥面ABCE