过抛物线Y²=2px（p＞0）的焦点f的一条直线与这抛物线相较于A,B两点,且A（x1,Y1）B(X2,Y2)求证y1y2=-p² ,x1x1=p²/4

过抛物线Y²=2px（p＞0）的焦点f的一条直线与这抛物线相较于A,B两点,且A（x1,Y1）B(X2,Y2)求证y1y2=-p² ,x1x1=p²/4
过抛物线Y²=2px（p＞0）的焦点f的一条直线与这抛物线相较于A,B两点,且A（x1,Y1）B(X2,Y2)
求证y1y2=-p² ,x1x1=p²/4

过抛物线Y²=2px（p＞0）的焦点f的一条直线与这抛物线相较于A,B两点,且A（x1,Y1）B(X2,Y2)求证y1y2=-p² ,x1x1=p²/4
解:
证明
焦点F为(p/2,0)
所以设直线为y=k(x-p/2)
代入抛物线
k^2(x-p/2)^2=2px
k^2(x^2+p^2/4-px)=2px
k^2x^2-(k^2p+2p)x+k^2p^2/4=0
根据韦达定理
x1+x2=(k^2p+2p)/k^2
所以x1x2=p²/4
又因为y1=k(x1-p/2)
y2=k(x2-p/2)
所以y1y2=k^2(x1-p/2)(x2-p/2)=k(x1x2-p/2(x1+x2)+p^2/4)=-p²