已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且·=0,|BC|=2|AC|,

已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且·=0,|BC|=2|AC|,
已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且·=0,|BC|=2|AC|,

已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,如图,且·=0,|BC|=2|AC|,
以O为原点,OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系
则A（2,0）,设所求椭圆的方程为：=1(0

设B(-m,-n),C(m,n). ∵C在椭圆b²x²+4y²=4b²上, ∴ b²m²+4n²=4b².
向量AC*向量BC=0, ∴ AC⊥BC,斜率Kac×Kbc=-1, ∴ n²=2m-m²…①. 又 |向量OC-向量OB|=2|向量BC-向量BA|,
∴ |BC|=2|AC...

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设B(-m,-n),C(m,n). ∵C在椭圆b²x²+4y²=4b²上, ∴ b²m²+4n²=4b².
向量AC*向量BC=0, ∴ AC⊥BC,斜率Kac×Kbc=-1, ∴ n²=2m-m²…①. 又 |向量OC-向量OB|=2|向量BC-向量BA|,
∴ |BC|=2|AC|, 4(n²+m²)=4[n²+(m-2)²]===>m=1…②, 把①,②代入b²m²+4n²=4b²,得b²=4/3, ∴ c²=4-(4/3)=8/3, c=2√6/3,
∴ 椭圆的焦距为(4√6)/3

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