如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,D在第一象限,点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E（4,0）出发,沿x轴正方向以相同速度运动,当点P到
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/20 02:51:17
如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,D在第一象限,点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E（4,0）出发,沿x轴正方向以相同速度运动,当点P到
如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,D在第一象限,点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E（4,0）出发,沿x轴正方向以相同速度运动,当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（s）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示）,求P,Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（s）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
如图①,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,顶点C,D在第一象限,点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E（4,0）出发,沿x轴正方向以相同速度运动,当点P到
专题：压轴题．
分析：（1）本题要依靠辅助线的帮助．做BF垂直y轴,求出FB、FA、AB的值；（2）由2可知,点P从点A运动到点B用了10s,求出AB的值；（3）本题有多种解法．作PG⊥y轴于G,证明△AGP∽△AFB,求出线段比．然后再求出S的面积以及抛物线的对称轴,最后求出t的最大值．
（1）作BF⊥y轴于F．∵A（0,10）,B（8,4）∴FB=8,FA=6,∴AB=10；（2分）（2）由图2可知,点P从点A运动到点B用了10s（1分）∵AB=10∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度；（1分）（3）解法1：作PG⊥y轴于G,则PG∥BF．∴△AGP∽△AFB∴GA
FA
＝
AP
AB
,即
GA
6
＝
t
10
．∴GA＝
3
5
t．∴OG＝10−
3
5
t．（2分）又∵OQ=4+t∴S＝
1
2
•OQ•OG＝
1
2
(t+4)(10−
3
5
t)（2分）即S＝−
3
10
t2+
19
5
t+20∵−
b
2a
＝−
19
5
2×(−3
10
)
＝
19
3
,且
19
3
在0≤t≤10内,∴当t＝
19
3
时,S有最大值．此时GP＝
4
5
t＝
76
15
,OG＝10−
3
5
t＝
31
5
,∴P(
76
15
,
31
5
)（2分）解法2：由图2,可设S=at2+bt+20,∵抛物线过（10,28）∴可再取一个点,当t=5时,计算得S＝
63
2
,∴抛物线过（5,
63
2
）,代入解析式,可求得a,b．评分参照解法1；（4）这样的点P有2个．（2分）
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