设f（x）在【0,1】上连续,且f（x）大于0,证明：存在 ξ属于（0,1）,证明：存在 ξ属于（0,1）,使得 ξf（ ξ）=∫ （上限1下限ξ）f（x）dx

设f（x）在【0,1】上连续,且f（x）大于0,证明：存在 ξ属于（0,1）,证明：存在 ξ属于（0,1）,使得 ξf（ ξ）=∫ （上限1下限ξ）f（x）dx
设f（x）在【0,1】上连续,且f（x）大于0,证明：存在 ξ属于（0,1）,
证明：存在 ξ属于（0,1）,使得 ξf（ ξ）=∫ （上限1下限ξ）f（x）dx

设f（x）在【0,1】上连续,且f（x）大于0,证明：存在 ξ属于（0,1）,证明：存在 ξ属于（0,1）,使得 ξf（ ξ）=∫ （上限1下限ξ）f（x）dx
设F(x)=xf(x)-∫ (x,1)f(t)dt,则 F（x）在【0,1】上连续
由于F(0)=-∫ (0,1)f(t)dt0,由根的存在性定理：
存在 ξ属于（0,1）,使得F(ξ)=0
即：ξf(ξ)=∫ (ξ,1)f(t)dt

考虑g(x) = xf(x)-∫f(t)dt, 有g(x)在[0,1]连续.
因为f(x) > 0, g(0) = -∫<0,1>f(t)dt < 0, g(1) = f(1) > 0.
由介值定理, 存在ξ∈(0,1), 使g(ξ) = 0.
即有ξf(ξ) = ∫<ξ,1>f(t)dt.