整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=?（请别copy,一个过程不懂,一个是错的）

整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=?（请别copy,一个过程不懂,一个是错的）
整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=?
（请别copy,一个过程不懂,一个是错的）

整数p,q满足p+q=2010,且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数,则p=?（请别copy,一个过程不懂,一个是错的）
韦达定理你知道吗?

x1x2=q/67为正整数，q=67k1,k1为正整数，
x1+x2=-p/67为正整数，p=-67k2,k2为正整数
p+q=67(k1-k2)=2010,k1-k2=30.
又因为p^2-4*67是完全平方数,即67^2*k2^2-4*67^2k1是完全平方数
k2^2-4k1是完全平方数
k2^2-4(30+k2)是完全平方数
k2^2-4k2...

全部展开

x1x2=q/67为正整数，q=67k1,k1为正整数，
x1+x2=-p/67为正整数，p=-67k2,k2为正整数
p+q=67(k1-k2)=2010,k1-k2=30.
又因为p^2-4*67是完全平方数,即67^2*k2^2-4*67^2k1是完全平方数
k2^2-4k1是完全平方数
k2^2-4(30+k2)是完全平方数
k2^2-4k2-120是完全平方数
(k2-2)^2-124是完全平方数
令(k2-2)^2-124=k^2,k为非负整数
(k2-2-k)(k2-2+k)=124
(k2-2-k)(k2-2-k+2k)=124=1*124=2*62=4*31
因为k2-2-k和k2-2-k+2k是同奇同偶的
所以k2-2-k=2，k2-2-k+2k=62，解得k=30，k2=34.
p=-67*k2=-67*34=-2278.

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