设z=f(x,y)是可微函数,x=rcosθ,y=rsinθ,证明(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(ðz/ðr)²+(1/r·ðz/ðθ)²

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 04:51:36
设z=f(x,y)是可微函数,x=rcosθ,y=rsinθ,证明(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(ðz/ðr)&#

设z=f(x,y)是可微函数,x=rcosθ,y=rsinθ,证明(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(ðz/ðr)²+(1/r·ðz/ðθ)²
设z=f(x,y)是可微函数,x=rcosθ,y=rsinθ,
证明(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(ðz/ðr)²+(1/r·ðz/ðθ)²

设z=f(x,y)是可微函数,x=rcosθ,y=rsinθ,证明(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(ðz/ðr)²+(1/r·ðz/ðθ)²
dz=df(x,y)=f'1dx+f'2dy;
dz/dx=f'1;dz/dy=f'2 这里的f‘1,f’2就是f‘x,f’y;1,2代表的是变量的位置
于是(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(f'1)^2+(f'2)^2
z=f(rcosθ,rsinθ),dz=f'1*cosxdr+f'2*sinxdr
dz/dr=f'1cox+f'2sinx
(ðz/ðr)²=(f'1)^2+(f'2)^2+2f'1*f'2*cosx*sinx
dz/dθ=-rf'1sinθ+rf'2cosθ
(1/r·ðz/ðθ)²=(f'1)^2+(f'2)^2-2f'1*f'2*cosx*sinx
于是(ðz/ðr)²+(1/r·ðz/ðθ)²=(f'1)^2(cos^2θ+sin^2θ)+(f'2)^2(cos^2θ+sin^2θ)==(f'1)^2+(f'2)^2于是(ðz/ðx)²+(ðz/ðy)²=(ðz/ðr)²+(1/r·ðz/ðθ)²