设函数f(x)的定义域为R,对任意实数X1,X2,有且f（π）=-1（1）求f（0）的值?（2）求证：f（x）是偶函数,且f（π-x）=-f（x）.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:46:34
设函数f(x)的定义域为R,对任意实数X1,X2,有且f（π）=-1（1）求f（0）的值?（2）求证：f（x）是偶函数,且f（π-x）=-f（x）.
设函数f(x)的定义域为R,对任意实数X1,X2,有
且f（π）=-1
（1）求f（0）的值?（2）求证：f（x）是偶函数,且f（π-x）=-f（x）.
设函数f(x)的定义域为R,对任意实数X1,X2,有且f（π）=-1（1）求f（0）的值?（2）求证：f（x）是偶函数,且f（π-x）=-f（x）.
（1）令x1=x2=π,则f(π)+f(π)=2f(π)f(0),
∵f（π）=-1,∴ f(0)=1
（2）令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)=2f(x),
∴f(-x)=f(x),即f（x）是偶函数；
令 x1=π,x2=0,则 -1+1 = 2f(π/2)^2=0,即 f(π/2)=0
再令 x1=π-x ,x2=x,则 f(π-x) + f(x)=2f(π/2)*f(π-2x)=0,从而f(π-x)=-f(x).
令 x1=x2=0
则 2f(0)=2f(0)^2
所以 f(0) = 0或1
令 x1=x2=π
则 2f(π) = 2f(π) *f(0)
所以f(0)=1
令 x1=x , x2=-x
则 f(x)+f(-x)=2f(x)*1
即 f(x)=f(-x)
令 x1=π x2=0
则 -1+1 = 2f(...
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令 x1=x2=0
则 2f(0)=2f(0)^2
所以 f(0) = 0或1
令 x1=x2=π
则 2f(π) = 2f(π) *f(0)
所以f(0)=1
令 x1=x , x2=-x
则 f(x)+f(-x)=2f(x)*1
即 f(x)=f(-x)
令 x1=π x2=0
则 -1+1 = 2f(π/2)*(-1)
所以 f(π/2)=0
令 x1=π-x , x2=x
则 f(π-x) + f(x)=2f(π/2)*f(π-2x)
上式右端=0 因此 f(π-x)+f(x)=0
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（1）令x1=x2=0.
则f(0)=1或者f(0)=0
对f(0)=0,令x1=π，x2=π,则f(π)=0，这与已知f(π)=-1矛盾。
故f(0)=1
(2)令x2=-x1,
则f(x1)+f(-x1)=2f(0)f(x1)=2f(x1),则f(-x1)=f(x1).故f(x)为偶函数。
f(π-x)+f(x)=2f(π/2)f((π-2x)/...
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（1）令x1=x2=0.
则f(0)=1或者f(0)=0
对f(0)=0,令x1=π，x2=π,则f(π)=0，这与已知f(π)=-1矛盾。
故f(0)=1
(2)令x2=-x1,
则f(x1)+f(-x1)=2f(0)f(x1)=2f(x1),则f(-x1)=f(x1).故f(x)为偶函数。
f(π-x)+f(x)=2f(π/2)f((π-2x)/2)
下面想让等式右边为0，则想办法求出f(π/2)
由f(π)+f(0)=2f(π/2)f(π/2)
因为f(π)=-1，f(0)=1,
所以f(π/2)=0
所以f(π-x)+f(x)=0
即：f（π-x）=-f（x）。
得证。
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