已知a.b.c属于R+,且3^a=4^b=6^c,求证2/a+1/b=2/c

已知a.b.c属于R+,且3^a=4^b=6^c,求证2/a+1/b=2/c
已知a.b.c属于R+,且3^a=4^b=6^c,求证2/a+1/b=2/c

已知a.b.c属于R+,且3^a=4^b=6^c,求证2/a+1/b=2/c
令k=3^a=4^b=6^c
k=3^a
k^2=9^a
k^2bc=9^abc
k=4^b
k^ac=4^abc
k=6^c
k^2=36^c
k^2ab=36^abc
9^abc*4^abc=36^abc
所以k^2bc*k^ac=k^2ab
k^(2bc+ac)=k^2ab
2bc+ac=2ab
两边除以abc
2/a+1/b=2/c

证法1：设 3^a=4^b=6^c=k.
则k>0,且
k^(1/a)=3,
k^(1/b)=4,
k^(1/c)=6.
所以 k^(2/a+1/b-2/c)=[k^(1/a)]^2*k^(1/b)/[k^(1/c)]^2
...

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证法1：设 3^a=4^b=6^c=k.
则k>0,且
k^(1/a)=3,
k^(1/b)=4,
k^(1/c)=6.
所以 k^(2/a+1/b-2/c)=[k^(1/a)]^2*k^(1/b)/[k^(1/c)]^2
=(3^2)*4/(6^2)
=1.
所以 2/a+1/b-2/c=0.
所以 2/a+1/b=2/c.
证法2: 因为 3^a=4^b=6^c,
取对数得
alg3=blg4=clg6.
令 k=alg3=blg4=clg6,得
a=k/lg3,
b=k/lg4,
c=k/lg6.
所以 2/a+1/b-2/c=(2lg3)/k+(lg4)/k-(2lg6)/k
=(lg9+lg4-lg36)/k
=0.
所以 2/a+1/b=2/c.

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