如图,已知在三角形ABC中,D是BC的中点,E为AB上一点,F为AC上一点,若角EDF=90度,且BE²+FC²=EF²,求证三角形ABC是直角三角形没有图
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 14:56:18
如图,已知在三角形ABC中,D是BC的中点,E为AB上一点,F为AC上一点,若角EDF=90度,且BE²+FC²=EF²,求证三角形ABC是直角三角形没有图
如图,已知在三角形ABC中,D是BC的中点,E为AB上一点,F为AC上一点,若角EDF=90度,且BE²+FC²=EF²,求证三角形ABC是直角三角形
没有图
如图,已知在三角形ABC中,D是BC的中点,E为AB上一点,F为AC上一点,若角EDF=90度,且BE²+FC²=EF²,求证三角形ABC是直角三角形没有图
证明：
延长FD到点G,使DG=DF；连接BG
易得△DBG≌△DCF（SAS）
∴∠DBG=∠C,DF=DG,BG=CF
∴AC∥BG
∵∠EDF=90°
∴FE=GE
∵BE²+FC²=EF²
∴BG²+BE²=FG²
∴∠EBG=90°
∵BG∥AC
∴∠A=90°
即△ABC是直角三角形
证明：延长FD到M,使DM=DF,连结BM,EM.
因为 D是BC中点，BD=CD,
又 角BDM=角CDF,
所以 三角形BDM全等于三角形CDF,
所以 BM=FC, 角MBD=角C,
因为 DM=DF, 角EDF=90度，...
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证明：延长FD到M,使DM=DF,连结BM,EM.
因为 D是BC中点，BD=CD,
又 角BDM=角CDF,
所以 三角形BDM全等于三角形CDF,
所以 BM=FC, 角MBD=角C,
因为 DM=DF, 角EDF=90度，
所以 ED垂直平分MF,
所以 EM=EF,
因为 BE^2+FC^2=EF^2,
所以 BE^2+BM^2=EM^2,
所以 三角形MEB是直角三角形，角EBM=90度，
因为 角MBD=角C,
所以 BM//AC,
所以 角BAC+角EBM=180度，
所以 角BAC=180度--角EBM=90度，
所以 三角形ABC是直角三角形。
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