在△ABC中,∠ABC=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD.求证：∠CDA=2∠ACD

在△ABC中,∠ABC=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD.求证：∠CDA=2∠ACD
在△ABC中,∠ABC=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD.求证：∠CDA=2∠ACD

在△ABC中,∠ABC=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD.求证：∠CDA=2∠ACD
证明：
过点A作AG//DC,延长BM交AG于点H,延长BC交AG于点G,连接HC.
因为AG//DC,所以角DMB=角AHB,角AMD=角HAM,
又因角AMD=角DMB
所以角MAH=角MHA
所以HM=AM
"又因DM=MC,DC//AG
所以AH=HG "
因为直角三角形ACG
所以HA=HC
所以角HCA=角HAC
由此推论得角HCD=2角ACD
因为角DMB=角HMC,角AMD=角DMB
所以角AMD=角HMC
又因CM=MD
所以三角形AMD全等于三角形HMC
所以角ADM=角HCM
所以角ADM=2角ACD