已知a>0 b>0 c>0且a+b+c=1 求证1/a+b+1/b+c+1/c+a>=9/2 看清题问,已经有一个但是答非所问

已知a>0 b>0 c>0且a+b+c=1 求证1/a+b+1/b+c+1/c+a>=9/2 看清题问,已经有一个但是答非所问
已知a>0 b>0 c>0且a+b+c=1 求证1/a+b+1/b+c+1/c+a>=9/2 看清题问,已经有一个但是答非所问

已知a>0 b>0 c>0且a+b+c=1 求证1/a+b+1/b+c+1/c+a>=9/2 看清题问,已经有一个但是答非所问
思路1：
因为三个正数的算数平均数大于等于它们的几何平均数
思路2
a+b+c=1代入1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
即1+c/(a+b)+1+a/(b+c)+1+b/(a+c)>=9/2
得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
由对称性不妨设a<=b<=c,则a+b<=a+c<=b+c,1/(b+c)<=1/(a+c)<=1/(a+b),由排序不等式正序和>=乱序和>=逆序和,有
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=b/(b+c)+c/(a+c)+a/(a+b)
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=c/(b+c)+a/(a+c)+b/(a+b)
两式相加得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
所以原不等式成立.证毕!