抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A,B,点Q(2,K)是抛物线上一点,AQ⊥BQ,则aK的值等于(A)-1 (B) 1 (C) 2 (D)-2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 15:49:01
抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A,B,点Q(2,K)是抛物线上一点,AQ⊥BQ,则aK的值等于(A)-1 (B) 1 (C) 2 (D)-2
抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A,B,点Q(2,K)是抛物线上一点,AQ⊥BQ,则aK的值等于
(A)-1 (B) 1 (C) 2 (D)-2
抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A,B,点Q(2,K)是抛物线上一点,AQ⊥BQ,则aK的值等于(A)-1 (B) 1 (C) 2 (D)-2
方法一：向量法
设A(x1,0) B(x2,0) Q（2,k）
由题意的 向量AQ=（2-x1,k） 向量BQ=（2-x2,k）
向量AQ垂）于向量BQ ,得 向量AQ乘以向量BQ=0
（2-x1）（2-x2）+k²=0
整理得 4-2（x1+x2）+x1x2+k²=0 （1）
由于x1、x2为方程的两根 则x1+x2=-a/x1x2=a/c
代入式中 得4-2（-a/b ）+a/c+k²=0
Q（2,k）代入方程得 4a+2b+c= k （2）
综上 ak=-1
方法二：代数法
设A、B两点坐标分别为(m,0)、(n,0)
→ m+n=-b/a、mn=c/a
∵Q(2,k)是该抛物线上一点
∴4a+2b+c=k
→ AQ^2=(m-2)^2+k^2
→ BQ^2=(n-2)^2+k^2
→ AB^2=(m-n)^2
∵AQ^2+BQ^2=AB^2
∴(m-2)^2+k^2+(n-2)^2+k^2=(m-n)^2
→ k^2=2(m+n)-mn-4=-2b/a-c/a-4=-(4a+2b+c)/a=-k/a
→ ak=-1
方法三：几何法
由射影定理得
k2=(x1-2)(2-x2)
=2(x1+x2)-4-x1x2
再由维达定理得
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
所以-2b/a-4-c/a=k2
(-2b-4a-c)/a=k2
又因为4a+2b+c=k
所以-ak2=4a+2b+c
k=-ak2
ak=-1