不等式|e^x-1/e^x|

不等式|e^x-1/e^x|
不等式|e^x-1/e^x|

不等式|e^x-1/e^x|
∵｜e^x－1/e^x｜≦√e,∴｜（e^x）^2－1｜≦√e·e^x,∴－√e·e^x≦（e^x）^2－1≦√e·e^x.
由－√e·e^x≦（e^x）^2－1,得：（e^x）^2＋√e·e^x≧1,∴（e^x）^2＋√e·e^x＋e/4≧1＋e/4,
∴（e^x＋√e/2）^2≧（4＋e）/4,∴e^x＋√e/2≧√（4＋e）/2,∴e^x≧［√（4＋e）－√e］/2,
∴x≧ln［√（4＋e）－√e］－ln2.
由（e^x）^2－1≦√e·e^x,得：（e^x）^2－√e·e^x≦1,∴（e^x）^2－√e·e^x＋e/4≦1＋e/4,
∴（e^x－√e/2）^2≦（4＋e）/4,
∴－［√（4＋e）－√e］/2≦e^x－√e/2≦［√（4＋e）＋√e］/2,
∴［2√e－√（4＋e）］/2≦e^x≦√（4＋e）/2,
∴ln［2√e－√（4＋e）］－ln2≦x≦（1/2）ln（4＋e）－ln2.
∵ln［√（4＋e）－√e］－ln2－｛ln［2√e－√（4＋e）］－ln2｝
＝ln［√（4＋e）－ln［2√e－√（4＋e）］.
∵3e＞4,∴4e＞4＋e,∴2√e＞√（4＋e）.
∵2√（4＋e）＞2√e,∴√（4＋e）＞2√e－√（4＋e）＞0,
∴ln［√（4＋e）＞ln［2√e－√（4＋e）］,
∴ln［√（4＋e）－√e］－ln2＞ln［2√e－√（4＋e）］－ln2.
∴原不等式的解集是｛x｜ln［√（4＋e）－√e］－ln2≦x≦（1/2）ln（4＋e）－ln2｝.