在正方形ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O,角BAC的平分线AF交BD于E,交BC与F,求证OE=1/2CF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:55:38
在正方形ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O,角BAC的平分线AF交BD于E,交BC与F,求证OE=1/2CF
在正方形ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O,角BAC的平分线AF交BD于E,交BC与F,求证OE=1/2CF
在正方形ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O,角BAC的平分线AF交BD于E,交BC与F,求证OE=1/2CF
取AF中点G,连接OG
中位线OG‖=1/2FC
∠BAF+∠ABD=∠OEA;∠CAF+∠AOG=∠OGE(三角形外角等于不相邻另两角之和)
又因为∠BAF=∠CAF（角平分,已知条件）,
且∠ABD=∠AOG=∠ACB=45°（正方形对角线以及OG平行于CB）
所以∠OEA=∠OGE
OG=OE=1/2FC
作EG垂直于AB,垂足G,
AF为∠BAC的平分线,∠BAC=45°,
∠EAO=∠EAG=∠BAC/2=45°/2=22.5°,
AE=AE,
∠AOE=∠AGE=90°,
所以RT△AOE≌RT△AGE,OE=GE;
∠GBE=45°,∠BGE=90°,
所以∠GEB=45°,
GE=BG,
BE=(√2)GE=(√2)O...
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作EG垂直于AB,垂足G,
AF为∠BAC的平分线,∠BAC=45°,
∠EAO=∠EAG=∠BAC/2=45°/2=22.5°,
AE=AE,
∠AOE=∠AGE=90°,
所以RT△AOE≌RT△AGE,OE=GE;
∠GBE=45°,∠BGE=90°,
所以∠GEB=45°,
GE=BG,
BE=(√2)GE=(√2)OE,
BO=BD/2=(√2)BC/2;
BE+OE=BO=(√2)BC/2;
(√2)OE+OE=(√2)BC/2,
OE=[√2/(√2+1)]BC/2=(2-√2)BC/2;
∠AFB=∠ABF-∠BAF=90°-22.5°=67.5°,
∠BEF=∠AEO=∠AOE-∠EAO=90°-22.5°=67.5°,
∠EFB=∠BEF,
故BF=BE=(√2)OE=(√2-1)BC,
CF=BC-BF=BC-(√2-1)BC=(2-√2)BC,
OE:CF=(√2-1)BC/2:(√2-1)BC=1/2,
所以OE=CF/2.
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