三角形ABC中,∠C=90°AB=13BC=5,在两边AB、AC上各取点D、E.线段DE平分△ABC的面积,求线段DE的最小长度
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 05:29:55
三角形ABC中,∠C=90°AB=13BC=5,在两边AB、AC上各取点D、E.线段DE平分△ABC的面积,求线段DE的最小长度
三角形ABC中,∠C=90°AB=13BC=5,在两边AB、AC上各取点D、E.线段DE平分△ABC的面积,求线段DE的最小长度
三角形ABC中,∠C=90°AB=13BC=5,在两边AB、AC上各取点D、E.线段DE平分△ABC的面积,求线段DE的最小长度
如图S⊿ADE＝﹙1/2﹚XYsinA＝12×5/4,∴XY＝78 [常数] ﹙sinA＝5/13﹚
X²Y²＝常数.Z²＝X²+Y²-2XYcosA＝X²+Y²-144
∵X²Y²＝常数, ∴当X²＝Y²时 X²+Y²有最小值,Z²有最小值,Z有最小值,
此时,X²＝78
Z²＝2×78-144＝12 Z＝2√3.
DE的最小长度＝2√3.
为清楚计，图未按比例。 直角△ABC 的面积为5*12/2=30.故，只需△ADE的面积等于15即可。 设AD=m，AE=n，由余弦定理：pp=mm+nn-2mncosA。此处，m的范围是（0,12)，n的范围是（0,13)。这里，sinA=5/13 ,cosA=12/13。由基本不等式，mm+nn的最小值是2mn，即2mm(当且仅当m=n时成立）。所以，pp=2nn*(1-cosA)=2nn*(1-12/13)=2nn/13。_______(1) 由三角形面积公式，△ADE的面积：15=(mnsinA)/2 =nn*(5/13)/2, 所以，nn=78,代入（1），得pp=12, p等于二倍的根号三。 我们做进一步的分析。既然m=n，所以AE=AD。这是个等腰三角形。那么，点E从何处截取？在AC的哪一个位置？由n*n=78，所以AE等于根号七十八，约为8.83。
三角形ABC面积为30，sinA=5/13。设AE=x,AD=y，则(1/2)xysinA=15，xy=78。
DE^2=x^2+y^2-2xycosA>=2xy-24xy/13=2xy/13=12。
故DE的最小长度为2根号3。