如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A'B'C'D'是正方体,其中AB=2,PA=根号6(1)求证:PA⊥B'D'(2)求平面PAD与平面BDD'B'所成的锐二面角的正切值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 18:04:20
如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A'B'C'D'是正方体,其中AB=2,PA=根号6(1)求证:PA⊥B'D'(2)求平面PAD与平面BDD'B'所成的锐二面角的正切值
如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A'B'C'D'是正方体,其中AB=2,PA=根号6
(1)求证:PA⊥B'D'
(2)求平面PAD与平面BDD'B'所成的锐二面角的正切值
如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A'B'C'D'是正方体,其中AB=2,PA=根号6(1)求证:PA⊥B'D'(2)求平面PAD与平面BDD'B'所成的锐二面角的正切值
证明：
1、 连接BA、AC,AC、BD交点为O
则PO⊥平面ABCD,PO⊥BD,AC⊥BD（正方形对角线相互垂直）
所以,BD⊥POA平面
PA在平面POA内,所以BD⊥PA
即,PA⊥BD
因为,B'D'‖BD
所以,PA⊥B'D'
自O作OF'⊥DP交于F',则DF'=(√2/√6)*√2=√6/3
OF'=√(2-6/9)=2√3/3
自A作AF⊥DP交于F,自P作PG⊥AD交于G
则DF=AD*GD/PD=2*(1/√6)=√6/3
F恰好与F'重合,OF=2√3/3
∵ PD⊥AF,PD⊥DF
∴ ∠AFO就是平面PAD与平面BDD'B'所成的锐二面角
∵ AO⊥BD ,AO⊥PO
∴ AO⊥平面PBD(即平面BDD'B')
∴ AO⊥OF
∴ 平面PAD与平面BDD'B'所成的锐二面角∠AFO:
tan∠AFO=AO/OF=√2/(2√3/3)= √6/2
∠AFO=arctan(√6/2)
1）
连AC,则PA=PC
设AC、BD交于O,则O是AC中点，且PO⊥面ABCD
所以，PO⊥BD
而正方形ABCD中，AC⊥BD
所以，BD⊥面PAC
所以，BD⊥PA
而B1D1//BD
所以，B1D1⊥PA
2)
可以尝试建立直角坐标系，用法相量解决，二面角可以转换成两平面法相量的夹角！原理很简单，但是计算量比较大！