已知二次函数y=2x²-4mx+m² 若这个函数的图像与x轴的交点为A、B,顶点为C,且△ABC的面积为（4倍根号2）,求此二次函数的函数表达式.

已知二次函数y=2x²-4mx+m² 若这个函数的图像与x轴的交点为A、B,顶点为C,且△ABC的面积为（4倍根号2）,求此二次函数的函数表达式.
已知二次函数y=2x²-4mx+m²
若这个函数的图像与x轴的交点为A、B,顶点为C,且△ABC的面积为（4倍根号2）,求此二次函数的函数表达式.

已知二次函数y=2x²-4mx+m² 若这个函数的图像与x轴的交点为A、B,顶点为C,且△ABC的面积为（4倍根号2）,求此二次函数的函数表达式.
解析：
由题意可设函数的图像与x轴的交点坐标为A(x1,0)、B(x2,0)
则可知x1和x2是方程2x²-4mx+m²=0的两个不同的实数根
由韦达定理有：x1+x2=2m,x1*x2=m²/2
那么：AB=|x2-x1|=根号[(x1+x2)²-4x1*x2]=根号(4m²-2m²)=根号2 *|m|
又函数解析式：y=2x²-4mx+m²=2(x²-2mx+m²-m²)+m²=2(x-m)²-m²
则顶点C坐标为（m,-m²)
可知点C到x轴的距离为d=m²
所以：S△ABC=(1/2)*d*AB=(1/2)*m²*根号2 *|m|=4根号2
即：|m|³=8
解得：m=2或-2
所以函数解析式为：y=2x²-8x+4或y=2x²+8x+4

∵x1+x2=--4m/2=2m，x1x2=m²/2
∴AB=|x1-x2|=√(x1+x2)²-4x1x2 =√(2m)²-4(m²/2) = √2 |m|，
又∵二次函数y=2x²-4mx+m²的顶点纵坐标为
4×2m²-(-4m)²/(4×2) =-m²，

全部展开

∵x1+x2=--4m/2=2m，x1x2=m²/2
∴AB=|x1-x2|=√(x1+x2)²-4x1x2 =√(2m)²-4(m²/2) = √2 |m|，
又∵二次函数y=2x²-4mx+m²的顶点纵坐标为
4×2m²-(-4m)²/(4×2) =-m²，
则△ABC的高是m²，
又∵△ABC的面积为4√2 ，
∴1/2 ×√2 |m|× m² =4√2
∴|m|³=8，
∴|m|=2，
∴m=±2
所以该二次函数的表达式为y=2x²-8x+4或y=2x²+8x+4

呵呵，请采纳，绝对好，手都敲软了，若不懂，请追问。

收起

x1+x2=2m x1×x2=m²／2
(x2-x1)²=(x1+x2)²-4x1x2=2m²
x2-x1=√2m 底边长
对称轴x=m
y=2m²-4m²+m²=-m²绝对值m²为高
则½×m²×√2m=4√2
m=2
代入y=2x²-8x+4

使用韦达定理，和二次函数顶点的坐标，易求得结果：