已知,如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E、F分别是线段BA,AB的延长线上的点,且AE=BF=AB,M,N,G分别是CE与AD,DF与BC,CE与DF的交点,求证：EC⊥FD
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 11:35:28
已知,如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E、F分别是线段BA,AB的延长线上的点,且AE=BF=AB,M,N,G分别是CE与AD,DF与BC,CE与DF的交点,求证：EC⊥FD
已知,如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E、F分别是线段BA,AB的延长线上的点,且AE=BF=AB,M,N,G分别是CE与AD,DF与BC,CE与DF的交点,求证：EC⊥FD 
已知,如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E、F分别是线段BA,AB的延长线上的点,且AE=BF=AB,M,N,G分别是CE与AD,DF与BC,CE与DF的交点,求证：EC⊥FD
∵在平行四边形ABCD中,AD=2AB,E\F分别是线段BA\AB的延长线上的点,且AE=BF=AB
∴BC=BE,∠ECD=∠BEC,∠ADC+∠BCD=180°
∴∠BCE=∠BEC
∴∠ECD=∠BEC=∠BCE
同理∠EFD=∠ADF=∠CDF
∴∠ADC+∠BCD=2∠FDC+2∠ECD=180°
∴∠FDC+∠ECD=90°
∴在△CDG中,∠DGC=90°
∴EC垂直FD
∵AD=2AB，BF=AB
∴AD=AF,
∴∠ADC=∠F，
又∵AB∥CD，
∴∠F=∠FDC
∠ADC=∠FDC，
即DF是∠ADC的平分线
同理CE是∠BCD的平分线
而∠ADC+∠BCD=180°
∴∠GDC+∠GCD=180/2=90°
∴∠CGD＝90°
即EC⊥FD
△AFD和△BEC，由于它们的顶角∠FAD和∠EBC是平行四边形的相邻的两角，所以这两个角互补：∠FAD+∠EBC =180°
又因为△AFD和△BEC是等腰三角形（AF=2AB=AD，BE=2AB=AD=BC），所以它们的底角互余：∠F+∠E=90°（∠F=(180°-∠FAD)÷2，∠E=(180°-∠EBC)÷2）
所以在△GEF中，∠EGF=180°-∠F-∠E=90°
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△AFD和△BEC，由于它们的顶角∠FAD和∠EBC是平行四边形的相邻的两角，所以这两个角互补：∠FAD+∠EBC =180°
又因为△AFD和△BEC是等腰三角形（AF=2AB=AD，BE=2AB=AD=BC），所以它们的底角互余：∠F+∠E=90°（∠F=(180°-∠FAD)÷2，∠E=(180°-∠EBC)÷2）
所以在△GEF中，∠EGF=180°-∠F-∠E=90°
即，EC⊥FD
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