如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD与F,EO延长线交AB于G.求证:AB/DF-AD/DE=2
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 21:04:54
如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD与F,EO延长线交AB于G.求证:AB/DF-AD/DE=2
如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD与F,EO延长线交AB于G.求证:AB/DF-AD/DE=2
如图所示,平行四边形ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD与F,EO延长线交AB于G.求证:AB/DF-AD/DE=2
证明:延长EG,交CB的延长线于点H,过点H作HI‖AB,交DA的延长线于点I
则四边形ABHI是平行四边形
∴AB=IH
∵DF‖IH
∴IH/DF=HE/EF
∴AB/DF=HE/EF
∵DF ‖AB
∴AD/DE=FG/EF
∴AB/DF-AD/DE=HE/EF-FG/EF=(HE-FG)/EF=(EF+GH)/EF
易证△OED≌△OHB,△ODF≌△OBG
∴OE=OH,OF=OG
∴FG=EF
∴(EF+GH)/EF=2
∴AB/DF-AD/DE=2
因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD//AB
AC与BD交于O点,O是AC、BD的中点,所以DF=GB
得AB/DF-AD/DE=(AG+GB)/DF-AD/DE=AG/DF+GB/DF-AD/DE=AE/DE+DF/DF-AD/DE=(AE-AD)/DE+DF/DF=DF/DF+DF/DF=1+1=2
AD/DE=(AE-DE)/DE=AE/DE - 1
又由于AE/DE=AG/DF 于是AD/DE=AG/DF - 1
所以AB/DF-AD/DE=AB/DF-AG/DF + 1=(AB-AG)/DF + 1=BG/DF + 1
因为是平行四边形,O为平行四边形中心线交点,DO=BO,故有:BG/DF=BO/DO=1
因此原式=BG/DF + 1=1+1=2,故得证
根据你画的图:
∵三角形EDF相似于三角形EIH
∴IH/DF=IE/DE=(AI+AD+DE)/DE----①
∵DEO全等于BHO ∴ED=BH ∵BH=AI ∴AI=DE
又∵IH=AB
∴①可化为AB/DF=(DE+AD+DE)/DE=2+AD/DE
即得证.其中证明全等相似应该很简单,我就省略了.